Summary |
要約 |
>Top 1. World beyond space and time:
- Carp in the pond:
How the carp in the pond would view the world around them. Spending
most of their time foraging on the bottom of the pond, they would
be only dimly aware that an alien world could exist above the surface.
The carp and I spend our lives in two distinct universes, never
entering each other's world, yet were separated by on the thinnest
barrier, the water's surface. To a carp "scientist," the
only thing that were real were what the fish could see or touch.
The pond was everything. An unseen world beyond the pond made no
scientific sense.
- What could happen if I lifted one of the carp "scientists"
out of the pond. I wondered how this would appear to the rest
of the carp. To them, it would be a truly unsettling event.
They would first notice that one of their "scientists"
had disappeared from their universe. Simply vanished, without
leaving a trace. Then, seconds later, when I threw him back
into the pond, the "scientist" would abruptly reappear
out of nowhere. To the other carp, it would appear that a miracle
had happed.
- Like the carp, our universe consist of only the familiar and
the visible. We smugly refuse to admit that parallel universes
or dimensions can exist next to ours.
- The fifth dimension:
We physicists receive quite a shock when we first stumble across Kaluza-Klein theory for the first time. This alternative
theory gave the simplest explanation of light; that it was really
a vibration of the fifth dimension. If light could travel through
a vacuum, it was because the vacuum itself was vibrating. By adding
the fifth dimension, the force of gravity and light could be unified
in a startlingly simple way.
- If it proves to be correct, then future historians of science
may well record that one of the greatest conceptual revolution
in 20th century science was the realization that hyperspace
may be the key to unlock the deepest secrets of nature and Creation
itself.
- Why can't we see higher dimension?
The German physicist Hermann von Helmholtz compared the inability
to "see" the fourth dimension with the inability of a
blind man to conceive of the concept of color. While mathematicians,
physicists, and computers have no problem solving equations in multidimensional
space, humans find it impossible to visualize universes beyond their
own.
- Our brains have evolved to handle myriad emergencies in three
dimensions. Instantly, without stopping to think, we can recognize
and react to a leaping lion or a charging elephant. Lions and
tigers do not lunge at us through the fourth dimension.
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1．時空を越えた世界:
- 池の中の鯉：
池の中の鯉にとって周囲の世界はどのように見えるのだろうか。彼らはほとんどの時間を池の底で餌をあさって過ごしており、水面の上に別の世界が存在することにはぼんやりとしてしかわかっていないのだろう。鯉と私は２つの別の宇宙に棲んでいて、それぞれの世界は水面という非常に薄い境界で分けられているにも関わらず、互いにに入り込むこともしない。鯉の科学者にとっては魚が見たり触れたできるものだけがリアルなものあった。その池がすべてだったのだ。池の周囲の見えない世界は科学的に意味がないことになる。
- もし科学者の鯉を一匹池から掴んで取り出したとしたら、この出来事は他の鯉にとってどう映るだろうか。彼らにとっては実に不安な出来事であろう。彼らはまず一匹の科学者の鯉が宇宙から消滅したことに気づく。そして数秒後に、私がその鯉を池に投げ返したとすると、その科学者はどこからともなく急に再現したことになる。他の鯉にとっては、奇跡が起こったと思うであろう。
- その鯉のように、我々の宇宙も我々がよく知った見える世界からできている。平行宇宙や多次元が我々に隣接して存在していることを我々が単に認めないだけなのだ。
- 五次元：
我々物理学者は、最初にカルツァ・クライン理論に出会ったときにショックを感じた。この案では光の性質を最も単純に説明できる。光は五次元空間で振動しているのだ。光が真空中を進むとすれば、真空そのものが振動する。五次元を導入することで重力と光とは驚くほど単純に統一される。
- この理論が正しいとなると、将来の科学史家は、20世紀の最も偉大な思想革命の一つはハイパースペースが自然の深奥と宇宙創造を解き明かす鍵となるであろうと記述することだろう。
- なぜ高次元が見えないのか：
独の物理学者H. ヘルムホルツは、四次元を見ることができないのは、盲人が色の概念を知覚できないことと同様であると説明している。数学者、物理学者、そしてコンピュータは多次元空間の式を解くことは何ら問題はないが、人間には自分の宇宙を超えた存在を知覚することが不可能なのである。
- 我々の大脳は三次元での様々な緊急事態に対応できるように進化してきた。我々は即座に考えるまでもなく、飛びかかってくるライオンや突入してくる象を認識して反応することができるのだ。ライオンや虎は四次元を通って我々に突進しては来ない。
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- >Top
- The laws of nature are simpler in higher dimensions:
Peter Freund of the University of Chicago was one of the early pioneers
working on hyperspace theories when its was considered too outlandish
for mainstream physics. One fundamental theme running through the
past decade of physics has been that the laws of nature become simpler
and elegant when expressed in higher dimensions. In higher dimensions,
we have enough "room" to unify all known physical forces.
- Over the past 2,000 years, scientists have discovered that
all phenomena in our universe can be reduced to four forces.
- The electromagnetic force:
It takes a variety of forms , including electricity, magnetism,
and light itself.
- The strong nuclear force:
It provides the energy that fuels the stars.
- The weak nuclear force.
It governs certain forms of radioactive decay. It contribute
to heating the radioactive rock deep within the earth's
interior.
- The gravitational force.
It keeps the planets in their orbits and binds the galaxy.
- The quest for unification:
Einstein once said, "Nature shows us only the tail of the lion.
But I do not doubt that the lion belong to it even though he cannot
at once reveal himself because of this enormous size. Perhaps the
four forces are the "tail of the lion," and "lion"
itself is higher-dimensional space-time.
- When extended to N-dimensional space, the clumsy-looking theories
of subatomic particles dramatically take on a startling symmetry.
- The recent interest in the theory was sparked in 1984 by physicists
Michael Green and John Schwartz, who proved the consistency
of the most advanced version of Kaluza-Klein theory, called superstring theory, which postulated
that all matter consists of tiny vibrating strings. Surprisingly,
the superstring theory predicts to precise number of dimensions
for space ant time; ten.
- We cannot see these higher dimensions because they have "curled
up" into a tiny ball so small that they can no longer be
detected (Planck length).
- Traveling through space and time:
The hyperspace theory has also reopened the question of whether
hyperspace can be used to travel through space and time.
- Parallel universes may be graphically represented by two parallel
planes. Normally, they never interact with each other. However,
at times wormholes or tubes may open up between them, perhaps
making communication and travel possible between them. This
is now the subject of intense interest among theoretical physicists.
- Anotehr bizarre consequence of wormhole physics is the creation
of "baby universes" in the laboratory. Alan Guth of
MIT claimed: by concentrating intense heat and energy in a chamber,
a wormhole may eventually open up, serving as an umbilical cord connecting our universe to another, much smaller universe.
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- 自然法則は高次元ではより単純化する：
シカゴ大学のP. フロイントはハイパースペース理論の初期のパイオニアの一人であり、当時の物理学会の主流にとってはあまりにも突飛な理論と見なされた。過去十年の物理学の中の基本的なテーマの一つは自然界の法則が高次元の中でより単純かつエレガントに説明できるようになったことである。高次元であれば、すべての既知の物理的な力を統一するのに十分な「部屋」があるからである。
- 過去2000年を通じて科学者は我々の宇宙のすべての現象は以下４つの力に帰属する。
- 電磁気力：
電気、磁気、光を含め様々な形をとる。
- 強い核力：
星を燃やすエネルギーとなる。
- 弱い核力：
放射性崩壊を支配する。地球内にある放射性の岩石を熱することになる。
- 重力：
惑星の軌道を維持し、銀河をつなぎ止める。
- 統一理論の探求：
アインシュタイン曰く、「自然はまだライオンの尾しか見せていない。しかしライオンは大きさが巨大であるが故に、一度も全貌を見せていないが、そこに属していることは疑いない。蓋し、４つの力は"ライオンの尾"であり、"ライオン"自身は高次元の時空間のことであろう。
- N 次元空間に拡張すると、 不格好に見えるサブアトム粒子理論が驚くほどの対称性を示すようになる。
- この理論の最近の展開は1984年にM.グリーンとJ. シュワルツの物理学者によって口火を切られた。彼らは超ひも理論と呼ばれるカルーツァ・クライン理論の最新理論の整合性を検証した。それによるとすべての物質は微小の振動するひもから構成されるとした。驚くべきことに、超ひも理論は時空間の次元数を正確に予測した。それは十次元である。
- 我々にはこれらの高次元は見えない。それらは微小のボール状に"巻き上げ"られているので、検出不可能なのである。 (プランク長)
- 時空間の旅行：
ハイパースペース理論は時空間を通過しての旅行の可能性の問題を再提起した。
- 平行宇宙は２つの平行面で図式表現することができる。通常はそれは相互に出会うことはない。しかし時としてワームホール、即ち、チューブがそれらの間が開かれて、通信や旅行が可能になるかも知れない。これは今や理論物理学者の間での強い興味の対象となっている。
- さらにワームホール物理学の驚くべき結論として、実験室でベイビー宇宙を作る話がある。MITのA. グースによれば、密室を強烈な熱とエネルギーを集中することでワームホールが開かれそれら我々の宇宙ともう一つも遙かに小さいな宇宙とをつなぐへその緒となるという。
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>Top 2. Mathematicians and mystics:
- On June 10, 1854:
- A new geometry was born. The theory of higher dimensions was introduced when Georg Bernhard Riemann gave his celebrated lecture at the University of Göttingen in Germany.
- 130 years after his lecture, physicists would use ten-dimensional geometry to attempt to unite all the laws of the physical universe. The core Riemann's work was the realization that physical laws simplify in higher-dimensional space.
- Euclid's Elements:
- After the Bible, Euclid's Elements was probably the most influential book of all time. Over the centuries, it became something of a religion; anyone who dared to propose curved space of higher dimensions was relegated to the ranks of crackpots or heretics.
- Euclid's geometry was till viable if one stayed within the confines of flat surface, but if one strayed into the world of curved surfaces, it was actually incorrect.
- Nowhere in the natural world do we see the flat, idealized geometric figures of Euclid. Mountain ranges, ocean waves, clouds, and whirlpools are not perfect circles, triangles, and squares, but are curved objects that bend and twist in infinity diversity. The time was ripe for a revolution.
- Ptolemy:
- What Ptolemy actually proved was that it is impossible to visualize the forth dimension with our three-dimensional brains. In fact, today we know that many objects in mathematics cannot visualized but can be shown to exist.
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２．数学者と神秘主義者:
- 1854.6.10:
- 新しい幾何学が誕生した。ゲオルグ・リーマンは、独のGöttingen大学で多次元理論を講義した。
- その講義から130年後に、物理学者は10次元の幾何学を使って宇宙の法則を統一しようとした。多次元空間の中では物理法則が単純化される。
- ユークリッド原論:
- ユークリッド原論は聖書に次いで影響を与えた本。何世紀にも亘って聖書のような役割であり、多次元の曲がった空間を提案することは狂人か異端者と見なされた。
- ユークリッド幾何学は、平面空間であれば成り立つ。しかし曲面では成り立たない。
- 世界はユークリッド幾何学のように、山、海の波、雲、渦も完全な円、三角、四角は存在しない。革命の時は熟した。
- プトレマイオス:
- 我々の3次元の大脳では４次元を見ることはできない。但し、数学では、見えないが存在を示すことができる。
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- >Top
- Riemann:
- Gauss asked his student Riemann to prepare an oral presentation on the "foundation of geometry." Over the next several months, Riemann began painfully developing the theory of higher dimensions, straining his health to the point of a nervous breakdown.
- He was helping another professor, Wilhem Weber, conduct experiments in a fascinating new filed of research, electricity. To Riemann, this phenomenon indicated that electricity and magnetism are somehow manifestations of the same force.
- Force=Geometry:
- Ever since Newton, scientist had considered a force to be an instantaneous interaction between two distant bodies. Physicists called it action-at-a-distance.
- Riemann imagined a race of two-dimensional creatures living on a sheet of paper. But the decisive break he made was to put these bookworms on a crumpled sheet of paper.
- Riemann argued that if these bookworms tried to move across the crumpled sheet of paper, they would feel a mysterious, unseen force that prevented them from moving in a straight line. They would be pushed left and right overtime their bodies moved over a wrinkle on the sheet.
- Riemann's metric tensor:
- Riemann's aim was to introduce a new object in mathematics that would enable to describe all surfaces, no matter how complicated.
- For ordinary two-dimensional surface, Riemann introduced a collection of three numbers at every point that completely describe the bending of that surface.
 Riemann's metric tensor contains all the information necessary to describe mathematically a curved space in N dimensions. It takes 16 numbers to describe the metric tensor for each point in four-dimensional space. Six of these numbers are actually redundant; so the metric tensor has ten independent numbers. - There is enough room in Riemann's metric to unite the forces of nature.
- Riemann's cut:
 with two sheets are connected together along a line. If we walk around the cut, we stay within the same space. But if we walk through the cut, we pass from one sheet to the next. This is a multiply connected surface. - Lewis Carrol in his book Through the Looking-Glass.
- Riemann's cuts can be found in episodes of The Twilight Zone.
- Riemann's legacy:
- The metric tensor, because it describes the force of gravity (via curvature) at every point in space, is precisely Faraday's field concept when applied to gravity.
- Riemann was unable to complete his work on force fields because he lacked the field equations that electricity and magnetism and gravity obey.
- The spell was finally broken. Riemann, in his short life, lifted the spell cast by Euclid more than 2,000 years before.
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- リーマン:
- ガウスは、学生だったリーマンに対し、幾何学の基礎を講演するよう指示した。その後数ヶ月かけてリーマンは苦労して多次元理論の発展させた。
- 一方で、電気の実験を行っていたWilhem Weber教授とである。リーマンにとっては、電気と磁気とは、同じ力の現れに思えた。
- 力＝幾何学:
- ニュートン以来、科学者は、力とは離れた２物体間に瞬時に働く相互作用であるとした。これを遠隔作用という。
- リーマンは、紙の上に住んでいる２次元生物を想像した。この虫を曲がった紙の上を這わせたことから発見が始まった。
- リーマンは、曲がった紙上を歩く時、まっすぐに歩もうとすると不思議な力を受けるように感じるだろう。紙のしわの上で左右に押されるような力である。
- リーマンの計量テンソル:
- どんなに複雑でもすべての表面を記述する新たな対象を見出す。
- 通常の2次元では、その表面の曲がりの完全に記述するには3つの数字を導入した。
- リーマンの計量天測はN次元の曲面を数学的に記述するのに必要が情報を含む。これが4次元の場合には各点で16の数が必要となる。この内6つの数は余分なので、じっさいには10子の独立数である。
- リーマンの計量テンソルには自然界を統合する十分なスペースがある。
- リーマンのカット:
- 2枚の紙が線で接している。その線の周辺を歩く限り、同一平面にいる。もしその線上を歩くと、別の紙に移動することができる。これは2平面の掛け合わせたものである。
- ルイス・カロルの"鏡の中のアリス"
- リーマン・カットについては、"The Twilight Zone (異次元の体験)"
- リーマンの遺産:
- 計量天測は、空間での各点の曲率によって重力を記述でき、ファラデーの場の概念を重力に応用
- リーマンは、力の場を完成できなかった。理由は電磁気と重力の場の方程式を知らなかった。
- リーマンは、短い生涯の内に、2000年来のユークリッドの魔法を解き放った。
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>Top 3. The man who saw the fourth dimension:
- In 1884:
- Edwin Abbot; wrote 'Flatland: A romance of many dimensions by a square.'
- Abbot,
for the first time, used
the controversy surrounding the fourth dimension as a vehicle for biting social criticism and satire.
- Discussion of the third dimension is strictly forbidden. One day, however, Mr. Square, who lives in a two-dimensional land, is permanently turned upside down when he is visited by a mysterious Load Sphere, a three-dimensional sphere. Lord Sphere appears to Mr. Square as a circle that can magically change size. Flatlanders cannot visualize three-dimensional beings, but can understand their cross sections.
- Fourth dimension:
- Similarly, as we drift through the fourth dimension, blobs appear from nowhere in front of our eyes. They constantly change in color, size, and composition, defying all the rules of logic of our three-dimensional world. And they disappear into thin air, to be replaced by other hovering blobs.
- H. G. Wells:
- "The Time Machine" in 1894 novel: He popularized a new idea in science - that the fourth dimension might also be viewed as time, not necessarily space.
- Möbius strip:
- A Möbius strip is a strip with only one side. Its outside and inside are identical. If a Flatlander wanders around a Möbius strip, his internal organs will be reversed.
- The fourth dimension as
art:
- In the Middle Ages:
paintings largely reflected the church's view that God was omnipotent and could see all parts of our world equally. The world was painted two dimensionally.
- Renaissance:
three-dimension people painted from the point of view of a person's eye; from the singular point of view of the observer.
- Cubism:
 Picasso's paintings show multiple perspectives, as though they were painted by someone from the fourth dimension, able to see all perspective simultaneously.
- Bolsheviks and the fourth dimension:
- The discovery of radioactivity by Henri Becquerel in 1896 and the discovery of radium by Marie Curie in 1896 had ignited a furious philosophical debate in French and German literary circles. It appeared that matter (thought by the Greeks to be eternal and immutable) could slowly disintegrate and that energy could reappear.
- Lenin argued that his meant instead that a new dialectic was emerging, which would embrace both matter and energy.
- Tesseract:
 a hypercube in four dimensions cannot be visualized,. But one can unravel a hypercube into its lower components, which are ordinary three-dimensional cubes. - It is impossible for us to visualize how to wrap up these cubes to form a hypercube. A higher-dimensional person can lift each cube off our universe and then wrap up the cube to form a hypercube. Our three-dimensional eyes would only see the other cubes disappear, leaving only one cube in our universe.
- Higher-dimensional figures are examined by their shadows, their cross sections, and their unravellings.
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３．四次元を見た男:
- 1884年:
- エドウィン・アボットは"フラットランド(平面国)"を出版した。四角形氏による多次元の冒険物語である。
- アボットは、始めて4次元を取り巻く話題をテーマに、若干の社会風刺を取り入れた。
- そこでは3次元の話は禁句であった。しかし、平面国に住む四角形氏が、不思議な3次元の球体卿の訪問を受けたことから考えが一変する。球体卿は、円として現れ、そのサイズを変化させた。平面国の人間には3次元の存在が見えないが、その断面を理解することはできる。
- 4次元:
- 同様に、我々が4次元世界を訪問すると、まず眼前に、突如として何かの塊が現れる。それは、3次元の規則や論理では計りしれないように、常に色、サイズ、構成を変えていく。そしてどこかへ別の塊として浮揚しながら消えて行く。
- H. G. ウェルズ:
- "タイムマシン"；1894年の小説。彼は科学の新たなアイデアを普及させて、4次元は、空間ではなく時間として現れるとした。
- メビウスの輪:
- メビウスの輪は、表裏は一体で、常に1つの面しかない。もし平面国の人がメビウスの輪を歩いていくと、彼の内蔵は左右反転してしまう。
- 4次元としての芸術:
- 中世:
絵画も神は万能で、世界の全ての等しく見通せるという教会を教義を反映していた。世界は2次元として描かれた。
- ルネサンス:
人の視線から見た、即ち、観察者からみて特異点をもつ3次元として描かれた。
- キュービズム:
ピカソは、多面的な視点から描いた。あたかも4次元の誰かによって描かれたように同時に多くの視点からの味方で描かれている。
- ボルシェビキと4次元:
- 1896年のアンリ・ベックレルによる放射能の発見、1896年のマリー・キューリーによるラジウムの発見によって仏や独で哲学論争が起きた。それはギリシャ以来、永遠に不変を考えられた物質が、徐々に分解して、エネルギーを発することを意味していた。
- レーニンはこれは物質とエネルギーの両方を包含する新たな弁証法を意味するとした。
- 四次元立方体:
- 四次元立方体は見えない。しかしそれを低次元に分解すると普通の三次元立方体になる。
- 個々には見えない。多次元の人はこの立方体をつまみ上げて四次元立方体を作ることができる。我々三次元の人間は、他の立方体が消えて、この世界には唯一の立方体が残るだけに見える。
- 超次元の物体は、その陰、断面、そして展開図によって検証するしかない。
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- >Top
- Building a four-dimensional house:
- Robert Heinlein's classic story: ("And he built a crooked house")
- Quintus Teal built a house in a truly revolutionary shape; a tesseract, unraveled in the third dimension in Los Angeles.
- An earthquake strikes California, and the house collapse into itself, but strangely only a single cube is left standing. The other cubes have mysteriously disappeared.
- When they cautiously enter the house, they are amazed that the other missing rooms are clearly visible through the windows of the first floor.
- As they explore the house, they find that each room is connected to an impossible series of other rooms. now, all windows face other rooms. There is no outside!
- When they open the first Venetian blind, they find that they are peering down at the Empire State Building. When they open the second blind, they find themselves staring at a vast ocean, except it is upside down. Opening the third blind, they find themselves looking at Nothing. Not empty space. Not inky blackness. Just Nothing. Finally, opening up the last Venetian blind, they find themselves gazing at a bleak desert landscape.
- The earthquake, he reasons, must have collapsed the joints of various cubes and folded the house in the fourth dimension.
- Another violent earthquake shakes the tesseract. Holding their breath, they leap out the nearest window. When they land, they find themselves in Joshua Tree National Monument, miles from Los Angeles. After returned to the house, they only find that the last remaining cube has vanished. Where did the tesseract go? It is probably drifting somewhere in the fourth dimension.
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- 四次元の家を建てる:
- R. ハインラインの古典的小説
- Quintus Tealは革命的な四次元立方体の家を建てる。ロスに四次元立方体を三次元に展開した家である。
- カルフォルニアを地震が襲い、その家は崩壊した。しかし不思議なことに１つの立方体だけが残る。その他の立方体は消えてしまった。
- 彼らは恐る恐るその家に入る。そこにはなくなったはずの部屋が、１回のフロアの窓を通して見渡せた。
- 彼らは家を探索してみると、どの部屋も他の部屋とあり得ないようにつながっていることを発見する。それに外側には出られないのだ。
- 最初のベネチアンブラインドをを開けると、そこからはエンパイア・ステートビルディングが眼下に広がっていた。2番目のブラインドを開けると広い海が見渡せた。但しそれは逆さまに映って見えたが。3番目のブラインドを開けると、そこには何もなかった。単なる空の空間でもなく、真っ暗闇という訳でもなく、何もない状態なのだ。最後のブラインドを開けると、そこは荒涼とした砂漠が拡がって見えた。
- 彼は考えた。おそらくあの地震で、立方体のつなぎが壊れて、家は四次元空間に折りたたまれたに違いないと。
- その時、別の激しい地震がその四次元立方体を揺らした。驚いて、近くの窓から飛び降りた。そこはなんとロスから何マイルも離れたJoshua Tree国立史跡のところだった。ようやく家に帰ってみると、最後に残っていた立方体も消えてなくなっていた。あの四次元立方体はどこへ行ってしまったのだろうか？恐らく四次元空間のどこかを漂っているのかも知れない。
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>Top 4. The secret of light: Vibrations in the fifth dimension:
- Children's questions:
- As a child, Einstein asked himself the simple question; What would a light beam look like if you could catch up with one? Would you see a stationary wave, frozen in time?
- Now let us replace the train by a light beam, but keep the velocity of light at just 100 miles/h. The pedestrian still clocks our car traveling at 99 miles/h in hot pursuit of the light beam traveling at 100 miles/h. However, according to relativity, we in the car actually see the light beam not traveling ahead of us 1 mile/h, as expected, but speeding ahead of us at 100 miles/h. Remarkably, we see the light beam racing ahead of us as though we were at rest.
- The only solution to this puzzle is that time shows down for us in the car. If the pedestrian takes a telescope and peers into our car, he sees everyone in the car moving exceptionally slowly. Furthermore, he sees that the car has become flattened in the direction of motion
- In fact, our clocks slow down and our rulers shrink just enough so that whenever we measure the speed of light, it comes out the same.
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4．光の不思議: 5次元空間における振動:
- 子供の質問:
- 子供として、アインシュタインは自問した。もし光線に追いついたとしたら、光線はどのように見えるだろうか？静止した波なのか、時間が止まったように見えるのか？
- 列車を光線に置き換えてみよう。但し光の速度を100 miles/hとする。歩行者は、我々の車が99 miles/h で光線を追いかけているのに気付く。しかし、相対論によれば、光線は我々の前方を1 mile/hで進んでいるのではなく、やはり100 miles/hで進んでいるのだ。驚くべきことに、光線は、我々があたかも止まっているかのような速度で進んでいるのだ。
- このパズルの解答は、我々の車の中の時計が遅れることにある。もし歩行者が望遠鏡で我々の車を覗いたとしたら、車の中の我々の動きが遅くなっていることに気付く。さらに車も進行方向に向かって縮んでいることに気付く。
- 事実、我々の時計の進みは遅くなり、我々の長さは縮み、光の速度はいつ測っても一定になるというのである。
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- >Top
- The equivalent principle:
- The laws of nature in an accelerating frame are equivalent to the laws in a gravitational field.
- a light beam will take the path requiring the least amount of time between two points. (least-time principle)
- Space warps:
- If light could be observed traveling in a curved line, it would mean that space itself is curved.
- Einstein notices the presence of the sun warps the path of light from the distant stars. This simple physical picture therefore gave a way in which the theory could be tested experimentally.
- Riemann had the mathematical apparatus, but not the guiding physical principle. Einstein, by contrast, discovered the physical principle, but lacked the mathematical apparatus.
- Field theory of gravity:
- Einstein spent 3 long, frustrating years, from 1912 to 1915.
- Fortunately, Marcel Grossman, when combing through the library for clues to Einstein's problem, accidenttaly stumbled on the work of Riemann. Grossman showd Einstein the work of Riemann and his metric tensor, which had been ingored by physicists for 60 years.
- This was Einstein's proudest piece of work, even more than his celebrated equation $E=mc^2$. The physical reinterpretation of Riemann's famous 1854 lecture is now called general relativity.
- Rieman's great contribution was that he introduced the concept of the metric tensor, a field that is defined at all points in space. it consists of a collection of ten numbers.
- Living in curved space:
- H.G. Wells "The Plattner Story"; the hero returns to earth after an accident to find that his body is completely reversed; his haeart is on his right side.
 If we live in a hyperdoughnut, we would see an infinite successsion of ourslef repeated in front of us, and to our sides. This is because they are two ways that lgiht can travel around the dourghnut. If we hold hands with the pople to our sides, we are actually holding our own hands; that is, our arms are actually encircling the dourhgnut.
- A universe made of marble:
- 1921: Astronomers had verified that starlight indeed bends as it travels around the sun, precisely as Einstein had predicted.
- Einstein still was not satisfied. He was searching for the "theory of everything"; the unifed field theory.
- While the marble of space-time was clean and elegant, the wood of matter-energy was a horrible jumble of confused, random forms.
- The birth of Kaluza-Klein Theory:
- In April 1919, Einstein received a letter from Theodr Kaluza at the university of Königsberg in Germany.
- In a few lines, Kaluza was uniting Einstein's theory of gravity sith Maxwell's theory of light by indroucidng the fifth dimension (four dimensions of space and one dimension of time)
 At first, it seemed like a cheap mathematical trick simply to expand the number or dimensions of space and time from four to five. What astonished Einstein was that once the five-dimensional field theory was broken down to a four-dimensional field theory, both Maxwell's and Einstin's equations remained. In other words, Kaluza succeeded in joining hte two pieces of the jigsawa puzzle because both of them were part of a larger whole, a five-dimensional space. - The fifth column and row are identified as the elctromagnetic field of Maxwell, while the remaining 4 X 4 block is the old four-dimensional metric of Einstein.
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- 等価原理:
- 加速度運動における自然法則は、重力場における法則と同じ。
- 光線は２点間の時間が最小となるようなルートを通る。 (最小時間の原理)
- スペース・ワープ:
- 光が曲線に沿って進んでいることが観測されれば、それはその空間がゆがんでいることを示す。
- アインシュタインは、太陽の存在が、遠くの星からの光を曲げることに注目した。これによって、この理論が実証されることになった。
- リーマンは数学的な道具を持っていたが、物理的な原則を導かなかった。対照的に、アインシュタインは物理原則を発見したが、数学的道具には欠けていた。
- 重力場の理論:
- アインシュタインは、1912年から1915年まで３年間は、挫折の日々を過ごしていた。
- 幸いなことに、M. グロスマンが、アインシュタインの課題を解く鍵をくまなく探しており、偶然にも、リーマンの研究を発見した。グロスマンはアインシュタインに60年間もの間物理学者によって無視されてきたリーマンの計量テンソルの話をした。
- これこそが、アインシュタインのあの有名な$E=mc^2$の式以上に、重要な仕事となった。リーマンの有名な1854年の講義は今や一般相対論と呼ばれるようになった。
- リーマンの偉大な貢献は、計量テンソルの概念を使って、空間の全ての点が定義された場の概念を導入したことにある。これは10個の数字の集合から成る。
- 曲がった空間に住む:
- H.G.ウェルズの"The Plattner Story"；主人公は、事故の後地球に帰還するが、体が左右反転してしまうという物語
- もし我々は、超ドーナツ空間に住んでいるとしたら、自分自身の姿を、前後・左右に無限に続くのを見ることになる。これは光がドーナツの周りを２方向に沿って走向するからである。もし我々が両側の人達と手をつなぐとなると、自分自身の手とつなぐことになり、その腕は実際にはドーナツを一周することになる。
- 大理石で出来ている宇宙:
- 1921: 太陽の周囲を通る星の非辛いは、アインシュタインが予測した通り、曲がることが実証された。
- アインシュタインは、まだ満足していなかった。彼は、"万物の理論"、即ち、統一場理論を求めていたのだ。
- 時間・空間はすっきりとエレガントに、大理石にように記述できるが、物質・エネルギーは木のように混沌の極みであった。
- カルーザ・クライン理論の誕生:
- 1919年に、アインシュタインは独ケーニヒスベルグ大学のT. カルーザから手紙を受け取る。
- カルーザは、数行で、アインシュタインの重力理論とマックスウェルの光理論をと、５次元を導入することで統一しようとしていた。 (空間4次元と時間1次元)
- 一見すると、次元を４つから５つに拡大しただけの数学的トリックに見える。アインシュタインを驚かせたのは、５次元理論を４次元に分解すると、マックスウェルの方程式とアインシュタインの方程式との両方が残る。カルーザはジグソーパズルの２つの片を結びつけ全体として大きな5次元空間を作り出した。
- <左図>：5行目と５列目は、マックスウェルの電磁気学の領域で、4x4の部分は従来のアインシュタインの4次元である。
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>Top 5. Quantum heresy:
- After 1925:
The key differences between Einstein's beautiful geometric theory and quantum theory can now be summarized as follows:
- Quantum and Planck's constant:
Forces are created by the exchange of discrete packets of energy, called quanta.
While, Einstein's packets of light were named photons, behaving much like point particles. The energy of photons is measured in units of Planck's constant ($h = 6.63 x 10^{-27}$ erg･sec) :
$E = hν = \frac{hc}{\lambda} $
- Weak interaction and strong interaction:
Different forces are caused by the exchange of different quanta. The weak force is caused by the exchange of W particle (W meaning "Weak"). While, the strong force holding the protons and neutrons is caused by the exchange of subatomic particle called π mesons. Three of the four forces (excluding gravity) are therefore united by quantum theory, giving us unification without geometry.
- Uncertainty principle:
We can never know simultaneously the velocity and position of a subatomic particle.
- Quantum Tunnering:
There is a finite probability that particles may "tunnel" through or make a quantum leap through impenetrable barriers.
- Dialectic:
- Quantum theory merges concepts of both particle and wave into a nice dialectic. The fundamental physical objects of nature are particles, but the probability of finding a particle at any given place in space and time is given by a probability wave.
- Quantum theory demolished, once and for all, the Newtonian dream of mathematically predicting the motion of all the particles in the universe.
 Yang-Mills field:
- In 1954:
Based on the analogy woth photons, the quanta of light, physicians believed that the weak and strong forces were caused by the exchange of a quantum of energy, called the Yang-Mills field. W particle. have charge +1, 0, and -1. For the strong interactions, the glue that holds the protons and neutrons together was christened the gluon.
- In quantum theory, when subatomic particles bump into one another, they exchange packets of energy, or quanta. Electrons and neutrinos interact by exchanging a quantum of the weak force, called the
 Standard model: (from Wiki)
- Ths Standard Model distinguishes two type of elementray fermions associated matter: quak and leptons. In total 24 different fermions; 6 quarks (violet) and 6 leptons (green), each with a corresponding antiparticle.
- Bosons are force carrieer particles. There are six bosons which are elementray; four gauge bosons (red) and Higgs boson and Graviton (massless spin-2 particle), the latter two bosons have not yet been observed experimentally.
- Bosons have interger sipin, In contrast, while fermions have half-interger spin.
- The Standard Model can explain every piece of experimental data concerning subatomic particles, up to about 1 trillion electron volts in energy (the energy created by accelerating an electron by 1 trillion volts)
- The strong force:
- Protons, neutrons, and other heavey particles consist of some tinier partciles, called quarks. These quarks come in wider variety; three colors and six flavors. There are also the antimatter counterparts of the quarks, called antiquarks. This gives us a toal of $3\times 5 \times 2 = 36$ quarks. (Quantum Chromodynamics, QCD)
- The quarks are held together by the exchange of small packets of energy, called gluons. (quark confinement)
- Re: The strong intgeraction is observed in two areas: binding protons and neutorn togehter to form the nucleu; and also hoding quarks to gether to form protons and neutorns together (called nuclear force)
- The weak force:
- The weak force governs the properties of leptons, such as electron, muon, and tau meson (collectively called charged leptons), and their neutrino patners (collectively called neutral leptons). Electrons have the lease mass of all charged leptions. Muons and taus can only be produced in high energy collisions. Leptons are subject to gravitation, electromagnetism and weak interaction, but not subject to the strong interaction.
- Re: relative strengh:
- strong force: 10^40
- electromagnetic force: 10^38
- weak force: 10^15
- gravity: 10^0
- Electromagnetic force:
- Interaction of electons and light is called quantum
- elegtrodynamics. (QED)
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5．量子の異説:
- 1925年の後:
アインシュタインの美しい幾何学理論と量子理論の主な違いは以下の通り。
- 量子とプランク定数:
力は、量子と呼ばれる離散的なエネルギーパケットの交換によって作られる。一方、アインシュタインの光のパケットは、光子と呼ばれ、一点の粒子のように振る舞う。
光子のエネルギーはプランク定数($h = 6.63 x 10^{-27}$ erg･sec)で測定される。: $E = hν = \frac{hc}{\lambda} $
- 弱い相互作用と強い相互作用:
様々な力は様々な粒子の交換によって生じる。弱い力はW粒子の交換による。一方、陽子や中性子を束ねる強い力は、πメゾン (中間子)の交換による。重力を覗く4つの力の内の3つは、幾何学なして素粒子理論によって統一された。
- 不確定性原理:
サブアトミック粒子の速度と位置は同時に知ることができない。
- トンネル効果:
粒子が、トンネルのように確率的に透過出来ること、即ち、量子は、古典的には乗り越えられない壁を透過できる現象。
- 弁証法:
- 量子理論は、粒子と波とを弁証法的に統一した。物理学の自然界の基本は粒子であるが、時空間における特定の粒子確率的な波として振る舞う。
- 量子理論は、宇宙におけるすべての粒子の動きは数学的に予測できるとしたニュートンの夢を覆した。
- ヤン・ミルズ場(非可換ゲージ理論)
- 1954年:
光量子は、ヤン・ミルの場と呼ばれる量子エネルギーの交換によって生じる弱い力と強い力によると考えられた。弱い粒子 (W粒子) の電荷は+1, 0, -1であり、強い相互作用では陽子や中性子を束ねるのがグルーオン (電荷中性)である。
- 量子リオンでは、サブアトッミク粒子は、互いに衝突し、エネルギーや粒子を交換する。電子やニュートリノは弱い力の粒子の交換によってできる。
- スタンダードモデル (標準模型): (Wikiより)
スタンダードモデルは、サブアトミック粒子の1兆エレクトロンボルトまでの実験データをすべて説明している。
- 強い力:
- 陽子、中性子など想い粒子はより小さなクオークから成る。これらのクォークは３つの色と６つのフレーバーを持ち、またクォークと反物質からなる反クォークもある。合計$3\times 5 \times 2 = 36$種類ある。 (量子色力学)
- クォークはグルーオンと呼ばれる粒子によって結びつけられている。 (クォークの閉じ込め)
- 注) 強い相互作業は２つの分野で観察される。陽子と中性子を束ねて核を作る場合と、クォークを束ねて陽子や中性子と作る (核力)
- 弱い力:
- 弱い力はレプトン (電子、ミュー粒子、タウ粒子 (以上荷電レプトン)やそれらのニュートリノの仲間、中性レプトン)から成る。電子は、荷電レプトンの中で最も軽い。ミュー粒子とタウ粒子は高エネルギーの衝突で生じる。レプトンは重力、電磁気力、弱い力の相互作用を受けるが、強い力の相互作用は受けない。
- 電磁力
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- >Top
- Symmetry in physics:
- Several kinds of symmetrics occur repeatedly in nature. We call these space-time symmetries, which are created by rotating the object through a dimension of space or time.
- SU (3) symmetry:
If we shuffle three colored quarks and the equations remain the same.
- SU (2) symmetry:
Wth weak force governs the properties of electron and neutirino. The symmetry that interchanges these particles, yet leaves the equation the same.
- SU (1) symmetry:
The electronmagnetic force has (1) sysmmetry, which rotates the components of the Maxwell field into itself.
- GUT (Grand Unified Theory):
- Ernest Rutherford once said, "All science is either physics or stamp collecting;." physical laws and taxonomy.
- What is needed in physics is a counterpart of Darwin's 'On the origin of species', to be called 'On the origin of symmetry.'
- The Grand Unified Theory (GUT) tried to unite the sysmmetries of the strong, weak, and electromagnetic quanta by arranging them into a much larger symmetry group.
- This means that one can turn a proton (made of quarks) into an electron or a neutrino. GUTs say that the proton is actually unstable. The time for the proton to decay into leptons was calculated to be of $10^{31}$ years.
- Kamioka detector in Japan and the IBM IIrvine, Michigan, Brookhaven) detec near Cleveland, Ohio.
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- 物理学における対称性:
- 自然界では様々な対称性が現れる。これらは時空間における対称性であって、空間や時間を回転させることで作られる。
- SU(3)対称性:
３つの色のクォークをシャッフルしても式は変わらない場合。
- SU(2)対称性:
弱い力は電子とニュートリノの静謐を決める。これらの粒子を変えても、式が変わらない場合。
- SU(1)対称性:
電磁気力は、マックスウェルの場の構成要素を回転しても対称性が保たれる。
- 大統一理論(GUT):
- ラザフォード曰く、すべての科学は物理学か、切手収集かのいずれかである。前者は物理法則、後者は分類学である。
- 物理学にとって必要なことは、ダーウィンの種の起源に対応する"対称性の起源"と呼ばれるものである。
- 大統一理論は、強い力、弱い力、電磁気量子を、もっと大きな枠で対称性を捉えるもの。
- これは陽子 (uクォーク2個＋dクォーク1個から成る)を電子とニュートリノに変えることを意味する。陽子の寿命は$10^{31}$年。宇宙の寿命150億年より長い。
- 日本の神岡、および米国オハイオ州の検知器
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>Top 6. Einstein's revenge:
 In supergravity, we almost get a unification of all the known forces (marble) with matter (wood). Like a jigsaw puzzle, they fit inside Riemann's metric tensor. this almost fulfills Einstein's dream. It seemed that we were finally on the verge of carrying out Einstein's dream of a universe of marble after 60 years of neglect. Some of us jokingly called it "Einstein's revenge." - Supergravity, it appeared, was just another step in the long journey toward a unified theory of the universe. However, just as interest in supergravity began to wane, a new theory came along that was perhaps the strangest but most powerful physical theory ever proposed; the ten-dimensional superstring theory.
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6．アインシュタインの逆襲:
- スーパーグラビティ (超重力)では力と物質の世界とが統一される。ジグソーパズルのように、リーマンの計量テンソルの中に、アインシュタインの夢がうまく収まる。60年間も無視されてきたアインシュタインの描いた夢がいよいよ実演間近となった。いわばアインシュタインの復習である。
- 超重力理論は、宇宙統一理論への長い旅路の一つのステップである。この理論に引き続く、奇妙だか強烈な新たな理論、10次元の超ひも理論が登場した。
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>Top 7. Superstrings:
- Superstrings:
- The essence of string theory is that it can explain the nature of both matter and space-time. The deeper we probe into the nature of subatomic particle, the more particles we find. Even with the Standard Model, we are left with a bewildering number of elementary particles.
- What is a particle?
- String theory answers this question because the string, about 100 billion billion times smaller than a proton, is vibrating; each mode of vibration represents a district resonance or particle.
- strings: Planck length order;$10^{-33}$ cm
- tension of strings: Planck force; about $10^{44}$ Newtons
- When the constraints that the string place on space-time were first calculated, physicists were shocked to find Einstein's equations emerging from the string.
- String theory is rich enough to explain all the fundamental laws of nature. Starting from a simple theory of a vibrating string, one can extract the the
theory of Einstein, Kaluza-Klein theory, supergravity, the Standard Model, and even GUT theory.
- Why strings?
- For living things, nature uses the double strands of the DNA molecule, which unwind and form duplicate copies of each other. Also, our bodies contain billions upon billions of protein strings. Our bodies can be viewed as a vast collection of strings - procures draped around our bones.
- Why ten dimensions?
- In the work of Srinivasa Ramanujan, the number 24 appears repeatedly. In string theory, each of the 24 modes in the Ramanujan function corresponds to a physical vibration of the string. Whenever the string executes its complex motions in space-time by splitting and recombining, a large number of highly sophisticated mathematical identities must be satisfied. Since physicists add two more dimensions when they count the total number of vibrations appearing in a relativistic theory; space-time must have 24 + 2= 26 space-time dimensions. When the Ramanujan function is generalized, the number 24 is replaced by the number 8. Thus the critical number for the superstring is 8 +2, or 10. This is the origin of the tenth dimension.
- Ramanujan's legacy is his work, which consists of 4,000 formulas on 400 pages filling three volumes of notes. In 1976, a new discovery was made. 130 pages of scrap paper, containing the output of the last year of this life, was discovered by accident in a box at Trinity College (called Lost Notebook). The work of that one year, while he was dying, was the equivalent of a lifetime of works for a very great mathematician.
- In summary, the laws of nature simplify when expressed in higher dimensions. However, in light of quantum theory, we must how amend this basic theme. The correct statement should now read; The laws of nature simplify when self-consistently expressed in higher dimensions.
- Einstein often asked himself whether God had any choice in creating the universe. According to superstring theorists, once we demand a unification of quantum theory and general relativity, God had no choice: Self-consistency alone must have forced God to create the universe as he did.
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7．超ひも理論：
- 超ひも:
- 超ひも理論の本質は、物質とと時空間の両方の本質を説明できることにある。サブアトミック粒子の本質を探れば探るるほど、より沢山の粒子に出会う。スタンダードモデルによってさえ、数え切れない程の素粒子がある。
- 粒子とは何か？
- 超ひも理論は物質の基本単位を極小の一次元の拡がりをもつ弦とし、それぞれの素粒子は、弦の振動モードに対応する。
- 弦の長さはプランク長: $10^{-33}$cm程度)
- 弦の張力(プランク力): $10^{44}$ Newtons
- 時空間における弦による制約を計算すると、アインシュタインの式が弦から生じる。
- 長ひも理論は自然界の全ての基本法則を説明する有力な説。当初は単純な振動する弦の計算から、アインシュタインンの理論、カルーザ・クライン理論、超重力、スタンダードモデル、GUT理論が導かれる。
- なぜ弦か？
- 生命の基本もDNAに基づくタンパク質の弦が骨の周囲に巻き付いたものと考えられる。
- なぜ10次元か？
- スリニヴァサ・ラマヌジャンの計算では、24の数字が度々登場する。超ひも理論では、ラマヌジャン関数の24の各モードが物理学の弦の振動に対応。弦が時空間で分裂・結合による複雑な動きを数学的に記述した。物理学者は、これに相対論の表す２次元を追加し、26次元の時空間とした。ラマヌジャン関数の一般化によっｔ24次元は8次元で表示できることになり、結局、8+2の10次元が現れる。
- ラマヌジャンの遺作は、3冊のノート400頁に4000の式を残した。1976年に、130頁の紙切れの形で、人生最後の年の仕事がTrinity カレッジで発見された。死の１年前の仕事は非常に優秀な数学者の生涯の仕事に匹敵する。
- 要約として、自然法則は高次元の表現で単純化される。しかし量子理論に照らしてまだ修正の余地がある。正しい記述とは、自然法則はより高次元の中で自己矛盾のない形で単純化されると読み替えるべきである。
- アインシュタインはしばしば神は宇宙を創造する際、どのような選択をしたのかを自問していた。超ひも理論家によって、量子理論と一般相対論との統一を期待している。神には選択の余地がなく、自己矛盾がないことだけが神がこの宇宙を創造するやり方だった。
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>Top 8. Signals from the tenth dimension:
- Superconducting Supercollider (SSC):
- Unless an experiment can be duplicated over and over, in different locations and at different times with the same results, the theory is unreliable. But how can one perform an experiment with Creation itself?
- Superconductive Supercollider (SSC) would find subatomic particles that show the distinctive signature of the superstring, such as supersymmetry.
- SSC's magnetic fields necessary to bend the protons and antiprotons within the tube; on the order of 100K times of the earth, with project cost $11 billion.
- The proton would have smashed into one another at 40 TeV. This kind of collision has not occurred since the Big Bang itself.
- US House of representatives decided in 1993 to halt the project.
- The problem is theoretical, not experimental:
- Arthur Eddington: " Observation is not sufficient.. Theory has an important share in determining belief."
- I don't think that we have to wait a century until our accelerators, space probes, and cosmic-ray counters will be powerful enough to probe the tenth dimension indirectly.
- The largest energy source within our Milky Way galaxy - far beyiond anyhting produced by Cygnus X-3, or Hercules X-1 - lies at the center, which may consist of millions of black holes.
- The fabulous energy (Planck energy $10^{19}$ eV) was released on at the instant of Creation itself. Superstring theory is naturally a theory of Creation. Like the caged cheetah; we are demanding that this superb animal dance and sing for our entertainment. The real home of the cheetah is the vast plains of Africa.
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8．10次元からのシグナル:
- 超伝導超大型加速器(SSC):
- 実験とは、異なる場所や時間に繰り返し同じ結果が得られることで、そこで初めて理論が信用できることになる。しかし、宇宙創造の場合はどうやって実験することになるのか？
- SSCによってサブアトミック粒子が超ひも理論で言う超対称性を見つけようとしている。
- SSCの磁場は、陽子や反陽子を管の中で曲げるため地球磁場の10万倍もの磁力が必要で、このコストは$110億かかる。
- 陽子を分解するエネルギーは40 TeVとなり、これはビッグバン以来なかったレベルの衝突である。
- 米国下院は1993年にこのプロジェクトを中止した。
- 問題は理論であって、実験ではない。
- アーサー・エディントン曰く"観測だけでは十分ではない。信頼に値するには理論が重要な役割を演じる。"
- 強力な加速器、宇宙探査に1世紀を待つ必要はない。宇宙船カウンターは10次元を間接的に探査するにや十分強力である。
- 我々の銀河系内には、はくちょう座X-3やヘラクレス座X-1以上のエネルギーが中心部にあり、何百万というブラックホールから成っていると思われる。
- 信じられないほどのエネルギー (プランク・エネルギー $10^{19}$ eV)が宇宙創生の時に放出された。超ひも理論はとうぜんながら宇宙創生の理論でもある。檻に入れられたチータのように、我々はこの優れた動物が踊ったり歌ったりするのを期待しているだろうか。チータの本領は広大なアフリカの平原で発揮されるのだ。
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>Top 9. Before Creation:
- P'an Ku myth (China, 3C):
- In the beginning, was the great cosmic egg. Inside the egg was chaos, and floating in chaos was P'an Ku, the divine Embryo.
- Mahapurana (India, 9C)
- If God created the world, where was He before Creation? ... Know that the world is uncreated, as time itself is, without beginning and end.
- 1965:
- Penzias and Wilson found a mysterious background radiation permeating all space when they turned on their new horn reflector antenna in Holmdel, New Jersey.
- In 1992:
- COBE (Cosmic Background Explorer) result reconfirmed the Big Bang theory.
- Inflation theory:
there was a much more explosive expansion of the universe at the initial instant of Creation than the usual Big Bang scenario.; the visible universe we see is only the tiniest part of a much bigger universe whose boundaries lie beyond our visible horizon.
- Symmetry breaking:
- The smoothly stretched bed sheet possesses a high degree of symmetry. The sheet does not want to be in this stretched condition. the energy is too high. Thus one elastic pops off, and the bed sheet curls up. The symmetry is broken.
- Because the universe began to split up into a four- and a six-dimensional universe, the universe was no longer symmetrical. Six dimensions have curled up.
- Cooling the Big Bang:
- Eventually, more and more symmetry becomes restored as we increase the energy. Beginning with the instant of Creation, we have the following stages in the evolution of our universe.
- $10^{-43}$ seconds:
The ten-dimensional universe breaks down to a four- and six-dimensional universe. The six-dimensional universe collapses down to $10^{-32}$ cm in size. The four-dimensional universe inflates rapidly. The temperature is $10^{32}$ ºK.
- $10^{-35}$ seconds:
The GUT force breaks; SU(3) breaks off from the GUT symmetry. A small speck in the larger universe becomes inflated by a factor of 10^50, eventually becoming our visible universe.
- The Standard Model is a non-abelian gauge theory with the symmetry group U(1)xSU(2)xSU(3) and has a total of 12 gauge bosons; photon, 3 weak bosons and 8 gluons.
- $10^{-9} seconds:
$10^{15}$ ºK. the electroweak symmetry breaks into SU (2) and U(1).
- $10^{-3}$ seconds:
$10^{14}$ ºK. Quarks begin to condense into neutrons and protons.
- 3 minutes:
The protons and neutrons are now condensing into stable nuclei. Space is still opaque to light because ions do not transmit light well.
- 300,000 years:
Electrons begins to condense around nuclei. Atoms begin to form. The universe becomes transparent to light. Outer space becomes black. (Transparent to radiation)
- 3 billion years:
The first quasars appear.
- 5 billion years:
The first galaxies appear.
- 10-15 billion years:
The solar system is born. A few billion years after that, the first forms of life appear on earth.
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9．宇宙創造以前:
- 盤古神話：中国3世紀
- 原始には、宇宙の卵があり、その中は混沌としており、そこから宇宙開闢の創生神である盤古が誕生した。
- マハプラナ (ジャイナ教)：インド9世紀
- 神は世界を創出したとすれば、その前はどこにおられたのか？世界は作られたのではなく、時間そのもののように、始めも終わりもないことは分かっている。
- 1965年:
- ペンジアスとウィルソンは、NJ州で、新たなホーンリフレクタアンテナを向けた所、全天に充満する不思議な背景輻射を発見した。
- 1992年:
- COBE (宇宙背景放射探査機)の結果は、ビッグバン理論を再確認した。
- 宇宙のインフレーション理論：
宇宙創造の初期において、通常のビッグバンのシナリオより遙かに激しい膨張があった。我々が見える宇宙の境界は、それを越えて遙かに大きな宇宙のごく一部であるとする。
- 対称性の乱れ:
- 平らに伸ばされたベッドのシートは高い対称性をもつ。シートはこの伸ばされた状態は、エネルギーが高いままの状態である。一つの端をはずすとベッドシートは巻き上がる。対称性が乱れた状態となる。
- 宇宙は、４次元と６次元の宇宙に分裂を始める。その宇宙はもはや対称性が乱れる。６次元の宇宙が巻き上げられた状態となる。
- ビッグバンの温度降下:
- エネルギーが増加するとますます対称性が回復する。宇宙創生の最初の段階では、次のような進化をたどる。
- $10^{-43}$秒後:
10次元宇宙が、４次元宇宙と６次元宇宙とに分裂。6次元宇宙は崩壊して、$10^{-32}$ cmのサイズになる。4次元宇宙は急速に膨張していく。温度は$10^{32}$ ºKである。
- $10^{-35}$秒後:
大統一理論の力は崩壊。大統一理論の対称性からSU(3)がはがれる。より大きな宇宙から小さな領域が10〜50のオーダーでインフレーションを起こし、我々の見える宇宙となった。
- 標準モデルは、対称群U(1)xSU(2)xSU(3)を持つ非可換ゲージ理論であり、12のゲージ粒子、即ち、光子、3つのウイークボソン、8つのグルーオンを持つ。
- $10^{-9}$秒後:
温度は$10^{15}$ ºKとなる。電弱の対称性が破れて、SU(2)とU(1)になる。
- $10^{-3}$秒後:
温度は$10^{14}$ ºKとなる。クォークは凝縮して中性子と陽子になる。
- 3分後:
陽子と中性子が凝縮して安定的な核となる。空間はまだイオンが充満していて光が透過できないので不透明。
- 300,000年後:
電子が核の周りに収束してきて、原子が形成される。宇宙は光に対して透明となる。外宇宙は真っ黒である。 (宇宙の晴れ上がり)
- 30億年後:
最初のクウェイサーが誕生。
- 50億年後:
最初の銀河が誕生。
- 100〜150億年後:
太陽系が誕生。数十億年後に地球上に生命が誕生。
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>Top 10. Black holes and parallel universes:
- Black holes:
- If a star was 10- 50 times the size of our sun, then gravity will continue to squeeze it even after it becomes a neutron star. Without the force of fusion to repel the gravitational pull, there is nothering to oppose the final collapse of the star. It becomes the black hole.
- Escape velocity:
- necessary to escape permanetly the gravitational pull of that body.
- Bending a light beam into a full circle means that space itself has been bent full circle. This can happen only if the black hole has completely pinched a piece of space-time along with it.
- Schwarzschild radius, or the horizen.
- Roy Kerr in 1963:
- Kerr assumed that any collapsing star would be rotating.
- Kerr found that a massive rotating star does not collapse into a point. Instead, the spinning star flattens until it eventually is compressed into a ring.
- Subrahmanyan Chandrasekhar:
- Black holes - "this incredible fact that a discovery motivated by a search after the beautiful in mathematics should find its exact replica in Nature."
- Re:
- No-hair theorem: a black hole has only three independent physical properties; mass, charge, and angular momentum.
- There are four types of stable black holes:
-
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Nonrotating |
Rotating |
| Uncharged |
Schwarzschild |
Kerr |
| Charged |
Reissner-Nordström |
Kerr-Newman |
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10. ブラックホールと平行宇宙:
- ブラックホール:
- 星が太陽のサイズの10〜50倍であると、重力は中性子星になった後も縮退していく。重力の引力に反発する核融合力がないので、星が究極の縮退を止められず、ブラックホールとなる。
- 脱出速度:
- 重力による引力から永久に脱出することに必要な速度
- 光線が曲げられて円を描くようになることは、空間自身が曲げられて円形となることを意味する。これはブラックホールがその周囲の空間の一部をゆがめることから起こる。
- シュヴァルトシルト半径、事象の地平面
- ロイ・カー(1963年):
- カーは崩壊するすべての星は自転していると推測した。
- カーは、巨大な自転する星は一点に崩壊することはないことを見つけた。改訂しる星は平坦になりリングを構成するようになる。
- S. チャンドラセカール:
- ブラックホール："信じがたい事実だが、美しい数学の探究によって触発された発見とは、自然界にその美しいレプリカを発見することだ。"
- (カー･ブラックホールの特異点)
- ブラックホール脱毛定理:
ブラックホールで観測可能な物理量は、室郎、電荷、角運動量である。
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>Top 11. To build a time machine:
- Einstein himself was well aware of this impossibility:
- Although time does slow down when you increase our velocity, you cannot go faster than the speed of light, because special relativity states that your mass would become infinite in the process.
- 1988 Thorne's time machine:
- three physicists (Kip Thorne and Michael Morris at the California Institute of Technology and Uli Yurtever at the Universityh of Michigan) made the first serious proposal for a time machine.
- One version of Thorne's time machine consist of two chambers, each containing two parallel metal plates. The intense electric fields created between each pair of plates rips the fabric of space-time, creating a hole in space that links the two chambers. One chamber is then placed in a rocket ship and is accelerated to near-light velocities, while the other chamber stays on the earth. Since a wormhole can connect two regions of space with different times, a clock in the first chamber ticks slower than a clock in the second chamber. Because time would pass at different rates at the two ends of the wormhole, anyone falling into one end of the wormhole would be instantly hurled into the past or the future.
- At present, the jury is still out on Thorne's time machine.
- The main problem is how to harness enough energy to create and maintain a wormhole with exotic matter.
- Stephan Hawking:
- Stephen Hawking has pointed out that the radiation emitted at the wormhole entrance will be quite large and will contribute back into the matter-energy content of Einstein's equations. This feedback into Einstein's equations will distort the entrance to the wormhole, perhaps even closing it forever.
- This is ironic because Hawking himself has proposed a new theory of wormholes that is even more fantastic. Instead of connecting the present with the past, Hawking proposed to use wormholes to connect our universe with an infinite number of parallel universes!
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11．タイムマシンを作る:
- アインシュタイン自身はタイムマシンの可能性を否定した。：
- 移動速度を上げると時間は遅くなるが、光速以上にすることはできない。特殊相対論では、その場合質量が無限大になるからである。
- 1988年ソーンのタイムマシーン:
- 3人の物理学者(カルフォルニア工科大のキップ・ソーンとマイケル・モリス、ミシガン大のユーリー・ユルテバー) が、初めて真剣にタイムマシンの提案を行った。
- ソーンのタイムマシンは2つの部屋から構成され、2枚の平行な金属プレートが入っている。非常に強力な電場を1対のプレートの間に生じさせて時空間をはぎ取る。一つの部屋をロケットに乗せて、光速に近い速度にまで加速する。一方の部屋は地上に置く。ワームホールが2つの空間を異なる時間でつなぐことができる。最初の部屋の時計は、2番目の部屋の時計より進みが遅い。ワームホールの両端で時間の進みが異なるので、ワームホールの一方の端から入ると、瞬時に過去または未来にはじき出される。
- キップ・ソーンのタイムマシーン:に関する結論は現在まだ出ていない。
- 最大の問題は如何にして、異質な物質と一緒のワームホールを作り出し、それを維持するほどのエネルギーを扱えるかということである。
- ステファン・ホーキング:
- ホーキング曰く、ワームホールの入口で発生する放射線は極めて強力なので、アインシュタインの式の物質エネルギーの中身に影響する。このアインシュタインの式へのフィードバックにより、ワームホールの入口が乱され、あるいは永遠に閉じられるかも知れない。
- ホーキング自身が幻想的なワームホールの理論を提唱したにも拘わらず、このように否定的に言うのは皮肉である。ホーキングは、ワームホールを過去と現在をつなぐ代わりに、我々の宇宙と無限にある平行宇宙とをつなぐことに利用すべきと唱えている。
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>Top 12. Colliding universes:
- Wave function of the universe:
- In Hawking's wave function of the universe, the wave function is most likely concentrated around own universe. We live in our universe because it is the most likely, with the largest probability However, there is a small but non-vanishing probability that the wave function prefers neighboring parallel universes.
- Think of a large collection of soap bubble, suspended in air. Normally, each soap bubble is like a universe unto itself, except that periodically it bumps into another bubble, forming a larger one, or splits into two smaller bubbles. The difference is that each soap bubble is now an entire ten-dimensional universe. Each universe has its own self-contained "time." Perhaps, among the billions of parallel universes, only one (ours) had the right set of physical laws to allow life.
- Anthropic principle:
- Over the centuries, scientists have learned to view the universe largely independent of human bias.
- There are two versions of the anthropic principle. The weak version states that the fact that intelligent life exists in the universe should be taken as an experimental fact that helps us understand the constants of the universe. To have life in the universe, you need a rare conjunction of many coincidences.
- It means that the physical constants of nature must have a certain range of values, so that the stars lived long enough to create the heavy elements in our bodies, so that protons don't decay too rapidly before life has a chance to germinate, and so on.
- The existence of humans who can ask questions about the universe place a huge number of rigid constraints on the physics of the universe - e.g., its age, its chemical composition, its temperature, its size, and its physical processes.
- Strong version of the anthropic principle; which states that all the physical constants of the universe have been precisely chosen (by God( so that life is possible in our universe. However, it appears that a large set of physical constants must assume a narrow band of values in order for life to form in our universe.
- Pagels reluctantly concluded that "unlike the principles of physics, it affords no way to determine whether it is right or wrong; there is no way to test it.
- Weinberg said, "although science is clearly impossible without scientists, it is no clear that the universe is impossible without science.
- If Hawking is correct, then indeed there are an infinite number of parallel universes, many with different physical constants. In some of them, perhaps protons decay too rapidly, or stars cannot manufacture the heavy elements beyond iron, or the Big Crunch takes place too rapidly before life can begin, and so on. In fact, an infinite number of these parallel universes are dead, without the physical laws that can make life as we know it possible.
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12．衝突する宇宙:
- 宇宙の波動関数 (ハートル・ホーキング波動関数):
- ホーキングの宇宙に関する波動関数は、我々の宇宙の周辺に酋長している。我々がこの宇宙に存在しているのは、それが最も望ましく、確率が高いからである。しかし、少ない確率ではあるが好ましい波動関数が隣の平行宇宙にも存在している。
- 空気中に漂う石鹸の泡の集まりを想像する。各々の泡が宇宙であり、定期的に他の泡と衝突して、より大きな泡を作ったり、２つの小さな泡に分かれたりする。各々の泡の違いは10次元宇宙の完全性かどうかに依る。各々の宇宙は各々の時間を持っている。おそらく何十億もの平行宇宙でも、我々の宇宙だけが生命が存在するような物理法則を持っているのだろう。
- 人間原理:
- 何世紀にも亘って、科学者は宇宙は人間の偏見とは概して独立していることを学んできた。
- 人間原理について２つの考え方がある。人間原理の"弱いバージョン"では、宇宙に知的生命が存在していることは、実験事実として捉えて宇宙の常数を理解すべきという。宇宙の生命があるためには、多くの偶然の一致を必要をする。
- これは自然の物理定数がある範囲の数値である結果、星は長く存在できて我々の体の重元素を提供したり、陽子があまり早く崩壊しないので、生命が発生する機会が生まれた、等々。
- 宇宙について質問できる人間の存在するためには、宇宙には大量の物理常数が必要となる、即ち、その年齢、化学構成、温度、サイズ、物理プロセスなどである。
- 人間原理の"強いバージョン"では、宇宙の全ての物理常数は、正確に (神によって)選ばれた結果、生命が宇宙に存在できているとする。しかし、この場合でも宇宙に生命が存在するためには非常に多くの物理常数を狭い範囲の値に決めなければならない。
- パーゲルはしぶしぶ結論としていうには、"物理原則とは違って、この考えの審議を決める方法がない。それをテストする方法がないからだ。"
- ワインバーク曰く、"科学は明らかに科学者なしでは不可能だが、宇宙は科学なしで不可能かどうかは明らかではない。"
- もしホーキングの説が正しければ、無限の平行宇宙があることになり、その多くの宇宙では物理常数が異なる。その内に一部は、おそらく陽子は急速に崩壊し、星は鉄より重たい元素を生成できなくなる。あるいはビッグクランチが生命が誕生するより前に起こってしまうかも知れない。実勢に無数の平行宇宙は、我々は生命にとってかかせない物理法則が成り立たない宇宙であろう。
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>Top 13. Beyond the future:
- Type I Civilization:
- This is one that controls the energy resources of an entire planet. This civilization can control the weather, prevent earthquakes, mine deep in the earth's crust, and harvest the oceans. This civilization has already completed the exploration of its solar system.
- Type II Civilization:
- This is one that controls the power of the sun itself This civilization mines the sun. This civilization will begin the colonization of local star systems.
- Type III Civilization:
- This is one that controls the power of an entire galaxy. For a power source, it harnesses the power of billions of star systems. One option open to a Type III is harnessing the power of supernovae or black holes.
- Type 0 Civilization:
- This is just beginning to tap planetary resources, but does not have the technology and resources to control them. It derives energy from fossil fuels. Or largest computers cannot predict the weather, let alone control it.
- We might expect to reach Type I status within a few centuries.
- Ecological collapse:
- Type 0 civilization can master uranium without destroying itself in a nuclear war, the next barrier is the possibility of ecological collapse.
- Like bacterial colonies, we may also be exhausting our resources while drowning in the waste products that we relentless produce.
- A new ice age:
- One theory is that it is caused by minute variations in the earth's rotation, which are too small to be noticed even over a period of centuries. These tiny effect apparently accumulate to cause slight changes in the jet stream over the poles.
- Astronomical close encounters:
- Swift-Tuttle comet: it was announced in 1992 that a gigantic comet would hit the earth on August 14, 2126, perhaps ending all life on the planet.
- A supernova:
- A supernova creates a gigantic EMP (electromagnetic pulse), similar to the one that would be unleashed by a hydrogen bomb detonated in outer space. At worst, a supernovae burst in the vicinity of a star system (10-20 light years) might be sufficient to destroy all life.
- The nemesis extinction factor:
- Every 26 million years or so, there is a mass extinction. Our sun is actually part of a double-star system, and that our sister star called Nemesis is responsible for periodic extinctions of life on the earth. As it passes through the Oort cloud, it bring with it an unwelcome avalanche of comets, some of which strike the earth.
- The death of the sun:
- Our sun is approximately 5 billion years old and will probably remain a yellow star for another 5 billion years.
- The death of the galaxy:
- About 2 million light-years from the Milky Way is our nearest galactic neighbor, the great Andromeda galaxy, which is two to three times large than our own galaxy. The two galaxies are hurtling toward each other at 125 km/sec, and would collide within 5 to 10 billion years. Our galaxy will be consumed and destroyed.
- The death of the universe:a
- Either the universe is open, in which case it will expand forever until temperature gradually reach near absolute zero, or the universe is closed, in which case the expansion will be reversed and the universe will die in a fiery Big Crunch.
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13．未来の彼方に:
- タイプ-I文明:
- 全惑星のエネルギー資源を活用できる文明。この文明では天候を管理し、地震を防ぎ、地殻深く探鉱し、海洋も開発する。この文明は太陽系の探査もすでに完了している。
- タイプ-II文明:
- これは太陽の力を管理でき、太陽を探鉱している。この文明は近隣の太陽系への植民地化を始めている。
- タイプ-III文明:
- これは銀河系の力を管理できる。エネルギー源として何十億個もの恒星を利用できる。されにこの文明は超新星やブラックホールの力を管理することもできる。
- タイプ-0文明:
- ようやく惑星の資源の活用を始めたばかりでまだそれらの資源を管理するまでに至っていない。化石燃料を利用しているが、天候を予測や管理することはまだできない。
- タイプ-I文明に至るにはあと数世紀はかかるかも知れない。
- 環境破壊:
- タイプ-0文明は、核戦争を起こして自滅することなくウラン資源の活用を習得する。その次ぎの障害は、環境破壊の可能性である。
- バクテリアのコロニーのように、我々も資源を浪費し、我々は無計画に生産したものの廃棄物に溺れてしまうかも知れない。
- 新たな氷河期:
- 地球の回転が変化し、その蓄積が何世紀も続くことで、ジェット気流の流れが変化する。
- 隕石落下:
- スウィフト・タットル彗星：巨大な彗星が2126年8月14日に、地球に衝突し、全ての生命が絶滅するかも知れないと1992年に公表した。
- 超新星:
- 超新星が出現すると電磁気パルス(EMP)が生じる。これは外空間で水爆の爆発のような効果を生じる。超新星が地殻で(10〜20光年)で出現すると、最悪の場合は生命の絶滅に通じる。
- ネメシス星:
- 26百万年毎に、大量絶命がある。太陽は実は連星で、もう一つの姉妹星ネメシスがこの地球上の定期的な大量絶命の原因であるとする説。それがオールトの雲を通過する際に、大量の彗星の雪崩を起こし、その一部が地球に衝突するというもの。
- 太陽の死:
- 太陽は、誕生からすでに50億年経過し、あとおそらく50億年は黄色の恒星でいられる。
- 銀河系の死:
- 我々の銀河系から200万年光年離れた隣のアンドロメダザ銀河があり、それは我々の銀河系より2〜3倍も大きい。２つの銀河は、秒速125 kmで近づいており、50〜100億年後には衝突する。我々の銀河は破壊されてしまう。
- 宇宙の死:
- 宇宙がオープンであれば、永久に膨張し、温度は絶対零度に近づく。また宇宙がクローズドならば、膨張は止まり反転してビッグクランチを迎えることになる。
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>Top 14. The fate of the universe:
- Ice or fire:
- The universe either will continue to expand forever, or will contract into a fiery collapse, the Big Crunch. The universe will die either in ice, with an open universe, or in fire with a closed universe.
- Entropy death:
- We can paint a rather dismal picture of how the universe will die. All stars will become black holes, neutron stars, or cold dwarf stars within 10^24 years as their nuclear furnaces shut down.
- According to Stephen Hawking, black holes are not completely black, but slowly leak energy into outer space over an extend period of time. In this distant future, black holes may become life preservers because they slowly evaporate energy Intelligent life may extract energy from them to keep their machines functioning.
- Within $10^{32}$ years, all protons and neutrons in the universe will probably decay.
- After a fantastic $10^{100}$ (a googol) years, the universe's temperature will reach near absolute zero.
- Cf:
- Big Bang; Big Bounce ; Big Crunch
- or Big Bang; Big Freeze; Big Rip
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14．宇宙の運命:
- 氷か火か:
- 宇宙は膨張し続けるか反転してビッグ・クランチを迎えるかいずれかである。前者のオープン宇宙の場合は氷に、後者のクローズドな宇宙の場合は火によって死滅する。
- エントロピー的死:
- 宇宙の死については悲観的な結末が描かれる。全ての恒星は、10^24年以内には、核融合が止まり、ブラックホールか、中性子星か、白色矮星になる。
- ステファン・ホーキングによれば、ブラックホールは全くブラックという訳ではなく、かなりの時間をかけて徐々にエネルギーを放出していく。遠い将来、知的生命がここからエネルギーを絵得て機会を動かしているかも知れない。
- $10^{32}$ 年後には、宇宙にあるすべての陽子や中性子は恐らく崩壊するだろう。
- $10^{100}$年後には、宇宙の温度は絶対零度に近づいていくだろう。
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>Top 15. Conclusion:
- The know is finite, the unknown infinite - Thomas H. Huxley.
- Discovery of the past:
- Perhaps the most profound discovery of the past century in physics has been the realization that nature, at its most fundamental level, is simpler than anyone thought.
- the main current dominating theoretical physics in the past decade has been the realization the the fundamental laws of physics appear simpler in higher dimensions; to be unified in ten dimensions.
- Ten dimensions and experiment:
- It used to be that the experimentalists would lead the way. We lazy theorists would lag behind.
- But now we theorists might have to take the lead. In the past we always knew where the experimentalist were and thus what we should aim for. Now we have no idea how large the mountain is, nor where the summit is.
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15．結論:
- 既知は有限で、未知は無限である。- トーマス・ハックスレイ
- 過去の発見:
- 過去の物理学の発見で最も深遠なものは、自然は最も基本的なレベルで誰が考えるよりも単純だということである。
- 過去数十年の物理学の主流の考えは、高次元になるほど (10次元では) 基本法則が単純になる。
- 10次元と実験:
- 従来は、実験科学がリードし、理論科学がその後を追った。
- 今や理論科学がリードし、実験科学がその目的を知らせる役割であった。今や山がどれほど大きいのかだけでなく、その頂上がどこにあるのかもわからない。
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- >Top
- Ten dimensions and philosophy; Reductionism vs. Holism
- These two philosophical viewpoints must be view from the larger perspective. They are antagonistic only when viewed in their extreme form.
- By studying a tiny strand of fiber, we cannot possibly understand an entire tapestry.
- Similarly, geometry is not purely holistic, either. Simply observing that a higher-dimensional surface is spherical does not provide the information necessary to calculate the properties of the quarks contained within it.
- The geometry of higher dimensions forces us to realize the unity between the holistic and reductionist approaches. They are simply two ways of approaching the same thing.
- Thus we see that the ten-dimensional theory straddles both traditions. It was born as a child of a holistic S-matrix (Scattering matrix) theory, but contains the reductionist Yang-Mills and quark theories. In essence, it has matured enough to absorb both philosophies.
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- 10次元と哲学: 還元論対全体論
- 2つの哲学的観点は、もっと大きな視点で考えるべき。彼らは極端の形式で反発している。
- 糸の微細な撚り方を研究しても、織物全体は理解できない。
- 同様に、幾何学は単に全体論というだけではない。高次元表面を眺めているだけではその中に含まれるクォークの性質の計算に必要な情報は得られない。
- 高次元の幾何学は、全体論の還元論の統一することを我々に強いてきた。それらは同じ事象に接近する２つの方法である。
- 10次元理論はこの両方の伝統にまたがっている。それは全体論的なSマトリックス理論であり、還元論的なヤン・ミルズ論やクォーク理論である。それは両方の哲学を吸収するに十分な習熟した理論体系である。
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- >Top
- Ten dimensions and mathematics:
- After Einstein and Poincaré, the development of mathematics and physics took a sharp turn. For the past 7- years, there has been little, if any, real communication between mathematicians and physicists.
- Mathematicians explored the topology of N-dimensional space, developing new discipline such as algebraic topology.
- Physics, however, began to probe the realm of the nuclear force, using three-dimensional mathematics known in the nineteenth century.
- All this changed with the introduction of the tenth dimension. It seems as though the diverging gap between mathematics and physics will be closed.
- Physical principle vs. logical structures:
- Physics is ultimately based on a small set of physical principles. These principles can usually be expressed in plain English without reference to mathematics.
- Mathematics, by contract, is the set of all possible self-consistent structures, and there are vastly many more logical structures than physical principles. Mathematicians are much more fragmented than physicist; mathematicians in one area usually work in isolation from mathematicians in other areas.
- To solve a physical principle, physicists may require many self-consistent structures. Thus physics automatically unites many diverse branches of mathematics.
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- 10次元と数学:
- アインシュタインとポアンカレ以降、数学と物理学の進歩は急転回した。過去7年官も数学と物理学の間でのコミュニケーションがほとんどなかった。
- 数学は、N次元空間のトポロジーを研究史、代数トポロジーのような新たな原則を発展させた。
- 物理学は、19世紀の3次元数学を使って、核力の世界を探査し始めていた。
- 10次元の導入によって事情は大きく変わった。数学と物理学を隔てた溝は縮まったように見える。
- 物理学原則対論理構造:
- 物理学は究極的には少数の物理原則を基礎にしている。これらの原則は通常は平易な英語で説明され、数学は特に必要としない。
- 数学の場合は、対照的に、自己矛盾のない構造であり、物理原則より遙かに多くの論理構造がある。数学者は物理学者よりはるかに細分化されており、いつもは他の領域の数学者とは孤立して研究している。
- 物理原則を特には、物理学者も大杙の自己矛盾のない構造を必要とする。そうすることで多岐に亘る数学の分野を統一することになる。
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