≅
Note of Group Theory
- Theory and Application -
Cat: SCI
Pub: 2020
#2020a
Yobinori (YouTube)
20z19u
Title
Note of Group Theory
群論入門ノート
Index
Tag
; Associative law; Bijective; CAII; Equivalece class; General Linear group; Group definition; Hasse diagram; Homomorphic; Identity permutation; Inverse element; Isomorphism; MECE; Neutral element; Non-commutative; Normal matrix; Operation; Permutation; Quotient group; Subgroup; Symmetry; Symmetric group; Transition; Trivial group;
Original resume
Remarks
>Top 0. Preface:
- Set Theory:
- is a well-defined collection of objets.
- Set Operations: a⊂A
- N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
- A=B⇔A⊂B and B⊂A
- disjoint: A∩B=∅
- complement: A′={x:x∈U and x∉A}
- difference: A\B=A∩B′={x:x∈A and x∉B}
- De Morgan's Law:
- (A∪B)′=A′∩B′;(A∩B)′=A′∪B′
- >Top Cartesin Products and Mappings:
- onto or surjective: if f:A→B i.e., f(A)=B
- 全単射, bijective: =one-to-one correspondence/onto mapping
- compositon: (g∘f)=g(f(x))
0. 序文:
- disjoit: 互いに素, 共通元なし
>Top 1. Group Theory:
- 集合の上に演算 (加算、積算など)考える (=代数系)
- 必要最低限のルール: 結合法則: (a∘b)∘c=a∘(b∘c)
- 群(group)、環(ring)、体(field): (演算2つ;ルールの数が増える)
- 群〜体: Galois理論; 5次以上代数方程式の一般解なし
- 複素数のseki
- 複素数の積:
¶集合 {i, -1, -i, 1} の群の構造 (群表)
- 行列の積:
(0−110)(−100−1)(01−10)(1001)
- →(cosθ−sinθsinθcosθ)
- →π2,π,3π4.,0 の回転操作に相当 (代数的同型)
- 群の表現:
群(元、演算):→正則行列の積 (一般線形群)[準同型写像;準同型定理の理解]
- 対称性: ある変換に対して不変 (=通常、群という
- →結晶構造や波動関数の分類
1. 群論入門:
-
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
- (0−110)
>Top 2. Definition of Group:
- 定義 (群, Group):
集合G (≠∅)に対して二項演算(binary operation; "∘")
- G×G↦G
(a,b)↦a∘b が与えられていて、以下の条件(C,A,N,I)を満たす時、Gを群という。
- 演算に対して閉じていること(Closure condition)
- 結合法則(Associative law):
∀a,b,c∈Gに対して (a∘b)∘c=a∘(b∘c)が成り立つ。
- 単位元(Identity/Neutral element)の存在:
あるe∈Gが存在し、∀a∈Gに対してa∘e=e∘a=aを満たす
- 逆元(Inverse element)の存在:
∀a∈Gに対してa∘b=b∘a=eを満たすb∈が存在する。
- >Top ¶群の条件 (演算 operationとセットで考える): [C, A, I, I]; 論理演算子logical operator
- (R,+) [○,○,○,○]
- (Z,+) [○,○,○,○] (0の逆元は0)
- (R,∘) [○,○,○,☓]
- (R∗,∘) [○,○,○,○] (0以外の実数)
- (T={z∈C||z|=1}:
(T,∘) [○,○,○,○] (=eiθ)
- G=1; 自明群 (trivial group)
(G,∘) [○,○,○,○]
- G={i,−1,−i,1}
(G,∘) [○,○,○,○]
- R上のn次正則行列全体は、行列の関会長殿に関する群
→GLn(R) (General Linear Group, 一般線形群)
→正則行列, regular matrix; non-singular; invertible:
- 注:
- ∀a,b∈Gに対してa∘b=b∘aを満たすときGを可換群(commutative group or Abelian group)という。[群の定義ではない]
なお、有限群(finite grouop)と無限群(infinite group)がある。
- 群Gの元の個数をその位数(order)といい、|G|で表す。
- 以降、a∘bをabと省略する。→掛け算でなくても積(product)という。
- >Top 定理:
- 群Gに対し、単位元(Identity/Neutral element)はただ1つ存在する。
- ∀a∈Gに対し、逆元はただ一つ存在する。
- 証明:
- 単位元をe,e′とする。
{ee′=e′(eは単位元)ee′=e(e′は単位元)
→e=e′ (uniqueness of neutral element)
- aの逆元をb,b′とする。→b=eb=(b′a)b=b′(ab)=b′e=b′ (uniqueness)→a−1と書く。...◻
- 注:
- (a−1)−1=a
∵ aa−1=a−1a=e→(a−1)−1=a...◻ [a−1=cとみるとa=c−1=(a−1)−1]
- (ab)−1=b−1a−1
∵ (b−1a−1)ab=b−1(a−1a)b=b−1b=e
ab(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aa−1=e →b−1a−1=(ab)−1
2. 群の定義
- 群の定義:
CAII
>Top 3. Symmetric Group
- 定義: 対称群 (symmetric group); 置換(permutation)
- Ωn={1,2,⋯,n}としてΩnからΩnへの全単射(bijection)全体の集合をSnとおく。Snは写像の合成に関して群となる。この群Snをn次対称群という。
- ¶S3 [最初は恒等置換(identity permutation)]
- \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 2\ 3}(\rho_0=e)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 3\ 1}(\rho_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}(\rho_2)
\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}(\mu_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}(\mu_2)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}(\mu_3)
- 演算: \rho_2\mu_1=\underleftarrow{\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}=(\mu_2)
- 演算: \mu_1\rho_2=\underleftarrow{\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}=(\rho_2)
- 逆元: (\rho_1)^{-1}=\dbinom{2\ 3\ 1}{1\ 2\ 3}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}=(rho_2)
- ¶S_1=\bigl\{\binom{1}{1}\bigr\}=e
- ¶S_2=\bigl\{\binom{1\ 2}{1\ 2},\binom{1\ 2}{2\ 1}\bigr\}
- >Top 注:
- S_n\; (n≥3)は非可換群(non-commutative group)
- |S_n|=n!
- 任意の置換は互換の積で表される。>*
S_{10}=\sigma=\binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10}{6\ 8\ 5\ 4\ 2\ 10\ 9\ 3\ 7\ 1}
=(1\ 6\ 10)(2\ 8\ 3\ 5)(7\ 9)=(1\ 10)(1\ 6)( 2\ 5)(2\ 3)(2\ 8)(7\ 9)
- 互換積は一意的ではないが、互換の数は偶数か(偶置換 even permutation)、奇数か(奇置換 odd permutation)は一意的に決まる。
- 対称群とは"ものを並び替える操作"を元とする群である。
Symmetric group defined over any set is the group whose elements are all the bijections (=one to one correspondence) from the set to itself, and whose group operartion is the composition of functions.
3. 対称群」:
- *(2\ 8\ 3\ 5)=( 2\ 5)(2\ 3)(2\ 8)
2を固定し後ろから互換
>Top 4. Subgroup:
- 定義 (部分群, subgroup):
- 群Gの空でない部分集合Hが、Gの二項演算(binary/dyadic operation)によって群になるとき、HをGの部分群といい、H≤Gと表す。
- ¶例:
- (\mathbb{Z*},+)≤(\mathbb{Q},+)≤(\mathbb{R},+)≤(\mathbb{C},+)
- SL_n((\mathbb{R})≤)≤GL_n((\mathbb{R})≤)
- SL_n((\mathbb{R},+) (detA=1); GL_n((\mathbb{R},+) (detA≠0)
- E\in SL_n(\mathbb{R});\; A^{-1}\in SL_n(\mathbb{R})
- \{e\}≤Ǧ;\; G≤G [自明な部分群]
- 注:
- H (e')とG (e)の単位元は一致する。
- ∵ e'のGにおける逆元x\in Gをとると、
e'x=xe'=e
→e'=(xe')e'=x(e'e')=e
- HとGの逆元は一致する。
- ∵c\in HのHでの逆元c'とGでの逆元xを考える。
c'=c'e=c'(cx)=(c'c)x=ex=x
- >Top ¶定理:
群Gの空でない部分集合Hに対し、
HはGの部分群⇔\forall a,b\in H,\; a^{-1}b\in H [部分群判定定理]
- ∵ ⇒側は自明: a, b, a^{-1}bもHの中に入っている
- よって[但し、a^{-1\in H}は必ずしも成立するとはしていない。]
H≠\emptysetより、a\in Hがとれ、
- N: a\in Hより、a^{-1}a=e\in H [eがHの中にある]
- I: a, e\in Hより、a^{-1}e=a^{-1}e\in H
- C: a^{-1}b\in Hに対し、(a^{-1})^{-1}b=ab\in H
- A: HがGと同じ演算について、閉じているのは明らか ...\Box
- 注: 準同型写像fが、逆写像f^{-1}を持ち、かつf^{-1}もまた準同型(homomorphic)であるとき、fは同型写像(isomorphic)であるという。
4. 部分群:
- 部分群: Divide & controlのため
- 二項演算: 2つの数から新たな数を決定する法則; 加減乗除を一般化
- n次特殊線形群
- 準同型: 構造的に同型を保つ写像; 構造を保存(structure preserving)、構造と可換(commute with strucuture)である。
- 同型: 構造的に全く同じ場合
>Top 5. Equivalence Class:
- 定義: 同値関係:
- 集合Sにおいて、関係〜が定義されていて、2元x,y\in Sに対し、x\sim yであるか、またはx\nsim yのいずれかが成立し、かつ次の3条件を満たす時、関係〜を同値関係(equivalence relation)という。
- 反射率(reflective) x\sim x、
- 対称律(symmetric) x\sim yならばy\sim x
- 推移律(transitive) x\sim y\cap y\sim zなら、x\sim z
- =は同値関係
- >は反射率が満たされない
- ≥ 対称律が満たされない
- 定義; 同値類
- 〜を集合S上の同値関係とする。x\in Sに対し、
C(x)=\{y\in S|x\sim y\}をxの同値類(equivant class)という。
- 定理: 被りがないことを保証する定理
- \forall y, z\in C(x),]; y\sim z
- y\in C(x)\Rightarrow C(x)=C(y)
- C(x)\cap C(y)≠\emptyset \Rightarrow C(x)=C(y)
- 証明:
- z\in C(x)より、x\sim z
y\in C(x)よりx\sim yつまりy\sim xよってy\sim z
- z\in C(x)をとる [=C(x)から適当な要素zをとる]
y\in C(x)より、y\sim z、よって上記1.よりz\in C(y)
[=zはyの同値類の要素]
故に C(x)\subset C(y)...(1)
y\in C(x)よりx\sim yつまりy\sim x
よってx\in C(y)であり、w\in C(y)とするとx\sim wでありw\in C(x)
[=wはC(x)の要素]
故に C(x)\supset C(y)...(2)
(1)(2)によりC(x)=C(y)
- z\in C(x)\cap C(y) [空集合でないので適当な要素zをとってくる。]
このとき、C(x)=C(z),\; C(y)=C(z)
[定理2.より要素自身が同値類の代表元の取替]
となるので、C(x)=C(y) ...\Box
- 同値関係による商:
[集合Sの中に、ある〜関係に対応したC(x), C(y), C(z)があるとすると、(被りのない)同値類を要素とした集合を考える→同値関係による商S/\simという。]
5. 同値類:
>Top 6. Residue Class (Coset):
- 定義: 左剰余類 (Left coset) [Gの部分群Hを使った同値関係を考える]
- Hを群Gの部分群とする。
a,b\in Gに対し、a^{-1}b\in Hとなるとき、a\sim bと定義する。
これは同値関係であり、a\in Gの同値類をaのHによる左剰余類という。
- C(a)=\{x\in G|a\sim x\}=\{x\in G|a^{-1}x\in H\}
[C_{(a)}; 同値関係が成立するには、反射率・対称律・推移律が成立する必要がある。]
- 注:
- a, b\in Gに対し、ba^{-1}\in Hをa\sim bの定義としたものをaのHによる
右剰余類という。
- Gが可換群であれば、左剰余類も右剰余類
- 左: C(a)=\{x\in G|\;a\sim x\}=\{x\in G|\;a^{-1}x\in H\}
=\{x\in G|\;a^{-1}x=h\}=\{ah|\; h\in H\}=aH [aを左から掛ける]
- 右: C(a)=\{x\in G|\;a\sim x\}=\{x\in G|\;xa^{-1}\in H\}
=\{x\in G|\;xa^{-1}=h\}=\{ha|\; h\in H\}=Ha [aを右から掛ける]
- 同値関係であることの条件:
- 反射率: x\in Gならx^{-1}x=e\in H\;→x\sim x
[a=b=xを取ってくる]
- 対称律: x,y\in Gでx\sim yならx^{-1}y\in H
[Hは部分群なので逆元もHに含まれる\;→(x^{-1}y)^{-1}=y^{-1}x\in H
→ y\sim x [同値関係の定義によりy\sim xが成り立つ]
- 推移律: x,y,z\in Gでx\sim y\; y\sim zなら、x^{-1}y,\;y^{-1}z\in H
[Hは部分群なので積演算で閉じているので、
→
(x^{-1}y)(y^{-1}z)=x^{-1}(yy^{-1})z=x^{-1}z\in H
→ x\sim z]
- 定理:
- \forall a,b\in G,\; |aH|=|bH| [集合aHやbHの個数は等しい]
- 証明:
- \forall a\in G,\; |H|=|aH|を示せばよい。[Hを固定して比較する]
- f: \; H\longrightarrow aH
\;\; h\longmapsto ah [全単射が成り立てばよい]
- H=\{h_1,h_2,h_3,\cdots\}
- aH=\{ah_1,ah_2,ah_3,\cdots\}
[全射は明らかだが、単射を調べる; a≠b→f(a)≠f(b)⇔f(a)=f(b)→a=b]
[ah_i=ah+jのとき、a^{-1}ah_i=a^{-1}ah_j\;→h_i=h_j→]単射である
...\Box
- GのHによる左類別:
- G=H\cup aH\cup bH\cup\cdots
- 同様に、G=H\cup Ha\cup Hb\cup\cdots [GのHによる右類別]
[全射は、Hの部分群が全部あるので成立する。後は単射を調べる]
- a≠bならばf(a)≠f(b、即ちその対偶contrapositonである
f(a)=f(b)ならばa=bを示せばよい。
- ah_i=ah_j\;→a^{-1}ah_i=a^{-1}ah_j\;→h_i=h_j$ [単射である]
- \;→G=H\cup aH\cup bH\cup\cdots [GのHによる左類別]
- \;→G=H\cup Ha\cup Hb\cup\cdots [GのHによる右類別]
- このHを用いた同値関係による商(=同値類を要素とした集合)の表現:
- G/H:=\{eH, aH, bH, \cdots\}
- H\backslash G:=\{He, Ha, Hb,\cdots\}
[商の記号G/\sim =\{C_{e}, C_{(a)}, C_{(b)},C_{(c)},\cdots\}]
- ¶G=\mathbb{Z},\;H=3\mathbb{Z} [整数の整合Gの部分集合としての3の倍数の集合H]
- \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{0+3\mathbb{Z},\ 1+3\mathbb{Z},\ 2+3\mathbb{Z}\}
=\{\overline{0},\ \overline{1},\ \overline{2}\}
- [この場合の演算は加法; 加法演算の場合; この例はmod計算に相当;
aH=ah\{h\in\ H\beta\}]
6. 剰余類:
- conversion: 逆
\neg P→\neg Q
- Inversion: 裏
\neg P→\neg Q
- contrapositon: 対偶
P→Q is \neg Q→\neg P
- negation: 否定
\neg(P→Q)
- 群Gについて同値関係を使うと、
(MECE, もれなく被りなく)うまく
Group分けを行える。
- 逆
>Top 7. Normal Subgroup:
- 定理の前提:
- aH・bH=abHが成立するためには
- aH・bH\Rightarrow abH=a'b'Hを満たしていなければならない。
- a'=aH_1,\;b'=bh_2\;(h_1,h_2\in H)
\;→a'b'=ah_1bh_2\;
(=abh_1'h_2\in abHとなればよい。Hb=bHならOK
即ち\;→h_1b=Hb,\;bh_1=bHと書ければOK)
- 定義 (正規部分群):
- HをGの部分群とする。
全てのa\in Gに対し、aH=Haとなるとき、HをGの正規部分群といい、
H\trianglelefteq Gと表す。
- 注:
- 可換群(communitative group)Gの部分群(subgroup)は、全て正規部分群(normal subgroup)である。
- >Top 定義 (剰余群 quotient group):
- NをGの正規部分群とする。
剰余類 aNとbNの積を aN・bN=abNと定義(**)すると、G/Nはこの演算によって群となり、この群をGの正規部分群Nに関する剰余群という。
- 証明:
- 閉じている: 演算の定期から、ok
- 単位元: eNで成立
- 結合法則: (aN bN) cN=abN cN=abcN=a(bc)N=aN bcN=aN (bN cN)
- 逆元: a^{-1}N
- 注: Gが可換群であれば、G/N (商)も可換群...*...\Box
- ¶ 例:
- Z/3Z=\{0+3Z,];1+3Zz,\;2+3Z\}
[Zが可換群→3Zは正規部分群→Z/3Z 正規部分群での商は剰余群となる]
- 演算: (0+3Z)+(1+3Z)=(1+3Z)
[なお中央の+は、上記*により、剰余群の元同士の演算も可換群となるので+になる。
→代表元同士の演算結果とNを書く (上記**)]
- 演算2: (1+3Z)+(2+3Z)=(0+3Z)
[別表記(=mod計算): \overline{1}+\overline{2}=\overline{0}\;→mod計算の一般化]
- 正規部分群の判定法:
- {}^\forall z\in G,\;aH=Ha⇔{}^\forall h\in H,\;{}^\forall a\in G,\;aha^{-1}\in H
- 証明\Rightarrow:
- aH=Haより、ah=h'a [h'aと書けるようにh'が存在する]
\;→aha^{-1}=h'\in H...\Box$
- 証明\Leftarrow:
- aha^{-1}\in Hよりaha^{-1}=h'
\;→aha^{-1}a=h'a\in H\;→aH=Ha ...\Box
- ¶例: S_3 [三次対称群の部分群を考える]
- \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 2\ 3}(\rho_0)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 3\ 1}(\rho_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}(\rho_2)
\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}(\mu_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}(\mu_2)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}(\mu_3)
- →\rho_0,\;\rho_1,\;\rho_2の部分群はNと書ける
→\mu_1,\;\mu_2,\;\mu_3の部分群は\mu_1N
と書ける
- [正規部分群となるのはNだけ]
- [\rho_0,\;\mu_1=Hまたは\rho_1,\;\mu_2=Hは正規部分群とならない]
7. 正規部分群:
- 剰余類を元とする群を作る
→演算を考える
→aH・bH=abHを考える
>Top 8. Homomorphism
- 定理 (準同型写像):
- G,\; G': 群
写像 f: ;G\;→G'がf(xy)=f(x)f(y),\;{}^\forall x,y\in Gを満たすとき、
fを準同型写像という。[→群の構造を保つ]
[写像を考えることで同じかどうか比較する。(=同型)。
この場合、個数のみならず演算も含めての同型かどうか。]
- Sが全射の場合 [全射準同型写像 surjective homomorphism]
- Sが単射の場合 [単射準同型写像 injective homomorphism]
- Sが全単射の場合 [全単射準同型写像 surjective & injective (=bijective 同型写像) homomorphism] G\cong G' 代数構造が全く同じ(近似的意味はない)
- 定理 (準同型写像):
- f(e)=e'
- 証明:\;f(e)=f(ee)=f(e)f(e)\;→f(e)=e'
[eとee$は単位元なので同じもの]
- f(x^{-1})=f(x)^{-1}
- f(x)f(x^{-1})=f(xx^{-1})=e'
逆にf(x^{-1})f(x)=f(x^{-1}x)=e'
→f(x^{-1})=f(x)^{-1}
- 定義 (Kernel核、Image像)
- G,\;G':群、e':G'の単位元とする。
- 群の準同型写像
f: G\longrightarrow
G'に対して
Ker f=\{x\in G|f(x)=e'\} >Fig.
Im f=\{f(x)\in G'|x\in G\} [全射なら Imf=G']
- 定理:
- Ker f\trianglelefteq G
- Im f ≤ G'
- 証明:
- f(a^{-1}b)=f(a^{-1})f(b)=f(a)^{-1}f(b)=e'^{-1}e'=e'e'=e'
よってa^{-1}b\in \text{Ker}\ fであり、Ker fはGの部分群である。
- f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x)^{-1}=f(x)f(x)=e'
よって、xax^{-1}\in \text{Ker}\ fである。KerfはGの正規部分群
[準同型写像の定義と性質; f(a)はKer f'の元]
- {}^\forall f(a), f(b)\in \text{Im}\ f
f(a)^{-1}f(b)=f(a^{-1}b)\in\text{Im}\ f
よって Im fはG'の部分群...\Box
- 例: [準同型写像]
- f:\ \mathbb{C}^*\longrightarrow \mathbb{R}>0 [乗法から乗法へ]
\;\;z\longrightarrow |z|は全射準同型写像(単射ではない)である。
- 証明: f(z_1 z-2)=|z_1 z_2|=|z_1||z_2|=f(z_1)f(z_2) [全射は明らか]
Krt f=\mathbb{T} [一次元torus; Ker fは複素数平面上の距離1の円→R上のe'=1に写像]
- f:\; \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}>0 [和法から乗法]
- x\;\longrightarrow \exp(x)
[同型写像=全単射写像]
- 証明: f(x+y)=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=f(x)f(y)
- なお、Kerf={0} [行き先での単位元(1)になっていること]
8. 準同型写像:
- injection: 単射
- surjective: 全射 =one-to-one
- Kernel $ Image:

>Top 9. Fundamental homomorphism theorem:
- 定理: 準同型写像:
- f:\ G\longrightarrow G'を準同型写像という。[Chap 8の定義参照]
このとき
- \varphi: G/\text{Ker}\ f\longrightarrow \text{im}\ f
\;\;\;\; x\text{Ker}\ f\longmapsto f(x)は、同型写像(isomorphism)である。
即ち、G/\text{Ker}\cong\text{Im}\ f
特に、fが全射であるときは、G/\text{Ker}\cong G'
但し、\varphiが、well-definedであること[定義によって一意の解釈または値が割当荒れること]
\;→x\text{Ker}\ fの類の別の大表現yをとれば、{}^\exists k\in \text{Ker}\ f,\; y=xk
- well=definedの確認: f(y)=f(xk)=f(x)f(k)=f(x)e'=f(x) [fは準同型; f(k)はKer fから取ってきたのでe'; 即ちwell-definedである。]
- 証明:
- \varphiが準同型写像であること:
\varphi(x\text{Ker}\ f\; y\text{Ker}\ f)=\varphi(xy\ \text{Ker}\ f)
f(xy)=f(x)f(y)=\varphi(x\text{Ker}\ f)\varphi(y\text{Ker}\ f)
[\varphiの定義から]
- f(x)\in\text{im}\ fをとると\varphi(x\text{Ker}\ f)=f(x)[全射であることを示す]
- 証明の準備:
fが単射⇔f(x)=e'ならばx=e
- \Rightarrowは自明
- \Leftarrowを示す。
x≠y\in G\;→f(x)≠f(y)\in G'
\Rightarrow
f(x)=f(y)\in G'\;→x=y\in Gを示す。[対偶]
- x,y\in Gに対し、f(x)=f(y)とする。
このときf(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=e’
条件よりxy=eよってx=y [準同型写像なので]
- \varphiが単射であることより、\varphi(x\text{Ker}\ f)=e'とする。
[x\text{Ker}\ f\;→\text{Ker}\ fであることを示せばよい]
f(x)=e'となるので、x\in\text{Ker}\ f
よってx\text{Ker}\ f=\text{Ker}\ f [xはKer fの中の元なので]
従って、\varphiは単射である。...\Box
- ¶例:
- ¶f:\;\mathbb{C}^*\longrightarrow \mathbb{R}>0 [全射準同型写像]
\qquad\ z\longmapsto |z|
- Ker\ f=\mathbb{T}\;[一次元torus e^{i\theta}と書ける]
→\mathbb{C}^*/\mathbb{T}\;\cong\mathbb{R}^*
[z=re^{i\theta}をrの違いによって分類; 偏角を無視]
- ¶f:\;GL_n(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^* [n次一般線形群; 全射準同型写像]
\qquad\ A\longmapsto det\ A
- Ker\ f=SL_n(\mathbb{R}) [det=1]
→GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^*[detの値の違いで分類]
- ¶ f:\ S_n\longrightarrow \{-1,1\} [全射準同型写像]
\qquad \sigma\longmapsto sgn\ \sigma [sgn 偶置換1, 奇置換0]
- Ker\ f=A_n\; [n次交代群]
→S_n/A_n\ \cong\{-1,1\} [偶・偶=偶; 偶・奇=奇と同型]
- 目的:
準同型写像=別物に見える群同士が同型であることを示したい
→同型写像になる写像の構成手順を教えてくれる。
9. 準同型定理:

- Fundamental homomorphism: (Wiki)
- 群G,Hおよび群準同型f: G→Hが与えられたとき、Gの正規部分群Kおよび自然な射影φ: G→G/K (剰余群)に対し K\subset ker(f)(fの核)が成り立つならば、群準同型 h: G/K→Hが存在して f=h\circ φとできる。

- φはKを単位元に写すG上の準同型の中で最も一般的なもの。
- 単射矢印: \;\hookrightarrow
- 全射矢印:\;\twoheadrightarrow
- f: x\in \mathbb{R}\mapsto
x^2\in\mathbb{R}_+
(非負実数)
>Top 10. Cf: Partition of Group X:
- Hasse Diagram:
- 有限半順序集合(S,≤): Sの元を頂点とし、x<yかつx<z<yとなるzが存在しない場合のみ、
xからyに上向きの線を描く(='yはxを被覆coverする'、または'yはxの直接の後続immediate successorである'という。このような図(=Hasse 図)は半順序を一意的に特定する。
10. Cf: 集合の分割:



Comment
- Group Theory is very abstract; which can expand our thinking more elegant and well organized.
- 群論は抽象的だが、うまい具合に頭の整理になる。
≅ |
Note of Group Theory- Theory and Application - |
Cat: SCI |
Yobinori (YouTube) |
20z19u |
Title |
Note of Group Theory |
群論入門ノート |
Index |
||
Tag |
; Associative law; Bijective; CAII; Equivalece class; General Linear group; Group definition; Hasse diagram; Homomorphic; Identity permutation; Inverse element; Isomorphism; MECE; Neutral element; Non-commutative; Normal matrix; Operation; Permutation; Quotient group; Subgroup; Symmetry; Symmetric group; Transition; Trivial group; |
Original resume |
Remarks |
>Top 0. Preface:
|
0. 序文:
|
>Top 1. Group Theory:
|
1. 群論入門:
|
>Top 2. Definition of Group:
|
2. 群の定義
|
>Top 3. Symmetric Group
|
3. 対称群」:
|
>Top 4. Subgroup:
|
4. 部分群:
|
>Top 5. Equivalence Class:
|
5. 同値類: |
>Top 6. Residue Class (Coset):
|
6. 剰余類:
|
>Top 7. Normal Subgroup:
|
7. 正規部分群:
|
>Top 8. Homomorphism
|
8. 準同型写像:
|
>Top 9. Fundamental homomorphism theorem:
|
9. 準同型定理:
|
>Top 10. Cf: Partition of Group X:
|
10. Cf: 集合の分割: |
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