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Note of Group Theory

- Theory and Application -

Cat: SCI
Pub: 2020
#2020a

Yobinori (YouTube)

20z19u
Title

Note of Group Theory

群論入門ノート

Index
  1. Preface:
  2. Group Theory:
  3. Definition of Group:
  4. Symmetric Group:
  5. Subgroup:
  6. Equivalence Class:
  7. Residue Class (Coset):
  8. Normal Subgroup:
  9. Homomorphism:
  10. Fundamenta Homomorphism Theorem:
  11. Hasse Diagram:
  1. 序文:
  2. 群論入門:
  3. 群の定義:
  4. 対称群:
  5. 部分群:
  6. 同値類:
  7. 剰余類:
  8. 正規部分群:
  9. 準同型写像:
  10. 準同型定理:
  11. ハッセ図:
Tag
; Associative law; Bijective; CAII; Equivalece class; General Linear group; Group definition; Hasse diagram; Homomorphic; Identity permutation; Inverse element; Isomorphism; MECE; Neutral element; Non-commutative; Normal matrix; Operation; Permutation; Quotient group; Subgroup; Symmetry; Symmetric group; Transition; Trivial group;
Original resume
Remarks

>Top 0. Preface:

  • Set Theory:
    • is a well-defined collection of objets.
    • Set Operations: aA
    • NZQRC
    • A=BAB and BA
      • disjoint: AB=
      • complement: A={x:xU and xA}
      • difference: A\B=AB={x:xA and xB}
    • De Morgan's Law:
      • (AB)=AB;(AB)=AB
    • >Top Cartesin Products and Mappings:
      • onto or surjective: if f:AB i.e., f(A)=B
      • 全単射, bijective: =one-to-one correspondence/onto mapping
      • compositon: (gf)=g(f(x))

0. 序文:

  • disjoit: 互いに素, 共通元なし

>Top 1. Group Theory:

  • 集合の上に演算 (加算、積算など)考える (=代数系)
    • 必要最低限のルール: 結合法則: (ab)c=a(bc)
    • 群(group)、環(ring)、体(field): (演算2つ;ルールの数が増える)
    • 群〜体: Galois理論; 5次以上代数方程式の一般解なし
    • 複素数のseki
    • 複素数の積:
      ¶集合 {i, -1, -i, 1} の群の構造 (群表)
    • 行列の積:
      (0110)(1001)(0110)(1001)
      • (cosθsinθsinθcosθ)
      • π2,π,3π4.,0 の回転操作に相当 (代数的同型)
    • 群の表現:
      群(元、演算):→正則行列の積 (一般線形群)[準同型写像;準同型定理の理解]
      • 対称性: ある変換に対して不変 (=通常、群という
      • →結晶構造や波動関数の分類

1. 群論入門:

  •   a b c d
    a b c d a
    b c d a b
    c d a b c
    d a b c d
  • (0110)

>Top 2. Definition of Group:

  • 定義 (群, Group):
    集合G ()に対して二項演算(binary operation; "")
    • G×GG
      (a,b)ab が与えられていて、以下の条件(C,A,N,I)を満たす時、Gを群という。
      1. 演算に対して閉じていること(Closure condition)
      2. 結合法則(Associative law):
        a,b,cGに対して (ab)c=a(bc)が成り立つ。
      3. 単位元(Identity/Neutral element)の存在:
        あるeGが存在し、aGに対してae=ea=aを満たす
      4. 逆元(Inverse element)の存在:
        aGに対してab=ba=eを満たすbが存在する。
    • >Top ¶群の条件 (演算 operationとセットで考える): [C, A, I, I]; 論理演算子logical operator
      1. (R,+) [○,○,○,○]
      2. (Z,+) [○,○,○,○] (0の逆元は0)
      3. (R,) [○,○,○,☓]
      4. (R,) [○,○,○,○] (0以外の実数)
      5. (T={zC||z|=1}:
        (T,) [○,○,○,○] (=eiθ)
      6. G=1; 自明群 (trivial group)
        (G,) [○,○,○,○]
      7. G={i,1,i,1}
        (G,) [○,○,○,○]
      8. R上のn次正則行列全体は、行列の関会長殿に関する群
        GLn(R) (General Linear Group, 一般線形群)
        →正則行列, regular matrix; non-singular; invertible:
      • 注:
        1. a,bGに対してab=baを満たすときGを可換群(commutative group or Abelian group)という。[群の定義ではない]
          なお、有限群(finite grouop)と無限群(infinite group)がある。
        2. Gの元の個数をその位数(order)といい、|G|で表す。
        3. 以降、ababと省略する。→掛け算でなくても積(product)という。
    • >Top 定理:
      1. Gに対し、単位元(Identity/Neutral element)はただ1つ存在する。
      2. aGに対し、逆元はただ一つ存在する。
    • 証明:
      1. 単位元をe,eとする。
        {ee=e(eは単位元)ee=e(eは単位元)
        e=e (uniqueness of neutral element)
      2. aの逆元をb,bとする。→b=eb=(ba)b=b(ab)=be=b (uniqueness)→a1と書く。...
    • 注:
      1. (a1)1=a
        aa1=a1a=e(a1)1=a... [a1=cとみるとa=c1=(a1)1]
      2. (ab)1=b1a1
        (b1a1)ab=b1(a1a)b=b1b=e
        ab(b1a1)=a(bb1)a1=aa1=eb1a1=(ab)1

2. 群の定義

  • 群の定義:
    CAII

>Top 3. Symmetric Group

  • 定義: 対称群 (symmetric group); 置換(permutation)
    • Ωn={1,2,,n}としてΩnからΩnへの全単射(bijection)全体の集合をSnとおく。Snは写像の合成に関して群となる。この群Snをn次対称群という。
    • S3 [最初は恒等置換(identity permutation)]
      • \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 2\ 3}(\rho_0=e)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 3\ 1}(\rho_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}(\rho_2)
        \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}(\mu_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}(\mu_2)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}(\mu_3)
      • 演算: \rho_2\mu_1=\underleftarrow{\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}=(\mu_2)
      • 演算: \mu_1\rho_2=\underleftarrow{\dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}=(\rho_2)
      • 逆元: (\rho_1)^{-1}=\dbinom{2\ 3\ 1}{1\ 2\ 3}=\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}=(rho_2)
    • S_1=\bigl\{\binom{1}{1}\bigr\}=e
    • S_2=\bigl\{\binom{1\ 2}{1\ 2},\binom{1\ 2}{2\ 1}\bigr\}
    • >Top 注:
      1. S_n\; (n≥3)は非可換群(non-commutative group)
      2. |S_n|=n!
      3. 任意の置換は互換の積で表される。>*
        S_{10}=\sigma=\binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10}{6\ 8\ 5\ 4\ 2\ 10\ 9\ 3\ 7\ 1} =(1\ 6\ 10)(2\ 8\ 3\ 5)(7\ 9)=(1\ 10)(1\ 6)( 2\ 5)(2\ 3)(2\ 8)(7\ 9)
        • 互換積は一意的ではないが、互換の数は偶数か(偶置換 even permutation)、奇数か(奇置換 odd permutation)は一意的に決まる。
      4. 対称群とは"ものを並び替える操作"を元とする群である。
        Symmetric group defined over any set is the group whose elements are all the bijections (=one to one correspondence) from the set to itself, and whose group operartion is the composition of functions.

3. 対称群」:

  • *(2\ 8\ 3\ 5)=( 2\ 5)(2\ 3)(2\ 8)
    2を固定し後ろから互換

>Top 4. Subgroup:

  • 定義 (部分群, subgroup):
    • Gの空でない部分集合Hが、Gの二項演算(binary/dyadic operation)によって群になるとき、HGの部分群といい、H≤Gと表す。
    • ¶例:
      1. (\mathbb{Z*},+)≤(\mathbb{Q},+)≤(\mathbb{R},+)≤(\mathbb{C},+)
      2. SL_n((\mathbb{R})≤)≤GL_n((\mathbb{R})≤)
        • SL_n((\mathbb{R},+) (detA=1); GL_n((\mathbb{R},+) (detA≠0)
        • E\in SL_n(\mathbb{R});\; A^{-1}\in SL_n(\mathbb{R})
      3. \{e\}≤Ǧ;\; G≤G [自明な部分群]
    • 注:
      1. H (e')とG (e)の単位元は一致する。
      • e'Gにおける逆元x\in Gをとると、
        e'x=xe'=e
        →e'=(xe')e'=x(e'e')=e
      1. HGの逆元は一致する。
      • c\in HHでの逆元c'Gでの逆元xを考える。
        c'=c'e=c'(cx)=(c'c)x=ex=x
    • >Top ¶定理:
      Gの空でない部分集合Hに対し、
      HGの部分群⇔\forall a,b\in H,\; a^{-1}b\in H [部分群判定定理]
      • ∵ ⇒側は自明: a, b, a^{-1}bHの中に入っている
      • よって[但し、a^{-1\in H}は必ずしも成立するとはしていない。]
        H≠\emptysetより、a\in Hがとれ、
        • N: a\in Hより、a^{-1}a=e\in H [eHの中にある]
        • I: a, e\in Hより、a^{-1}e=a^{-1}e\in H
        • C: a^{-1}b\in Hに対し、(a^{-1})^{-1}b=ab\in H
        • A: HGと同じ演算について、閉じているのは明らか ...\Box
      • 注: 準同型写像fが、逆写像f^{-1}を持ち、かつf^{-1}もまた準同型(homomorphic)であるとき、fは同型写像(isomorphic)であるという。

4. 部分群:

  • 部分群: Divide & controlのため
  • 二項演算: 2つの数から新たな数を決定する法則; 加減乗除を一般化
  • n次特殊線形群
  • 準同型: 構造的に同型を保つ写像; 構造を保存(structure preserving)、構造と可換(commute with strucuture)である。
  • 同型: 構造的に全く同じ場合

>Top 5. Equivalence Class:

  • 定義: 同値関係:
    • 集合Sにおいて、関係〜が定義されていて、2元x,y\in Sに対し、x\sim yであるか、またはx\nsim yのいずれかが成立し、かつ次の3条件を満たす時、関係〜を同値関係(equivalence relation)という。
    • 反射率(reflective) x\sim x
    • 対称律(symmetric) x\sim yならばy\sim x
    • 推移律(transitive) x\sim y\cap y\sim zなら、x\sim z
      • =は同値関係
      • >は反射率が満たされない
      • ≥ 対称律が満たされない
  • 定義; 同値類
    • 〜を集合S上の同値関係とする。x\in Sに対し、
      C(x)=\{y\in S|x\sim y\}xの同値類(equivant class)という。
    • 定理: 被りがないことを保証する定理
      1. \forall y, z\in C(x),]; y\sim z
      2. y\in C(x)\Rightarrow C(x)=C(y)
      3. C(x)\cap C(y)≠\emptyset \Rightarrow C(x)=C(y)
    • 証明:
      1. z\in C(x)より、x\sim z
        y\in C(x)よりx\sim yつまりy\sim xよってy\sim z
      2. z\in C(x)をとる [=C(x)から適当な要素zをとる]
        y\in C(x)より、y\sim z、よって上記1.よりz\in C(y)
        [=zyの同値類の要素]
        故に C(x)\subset C(y)...(1)
        y\in C(x)よりx\sim yつまりy\sim x
        よってx\in C(y)であり、w\in C(y)とするとx\sim wでありw\in C(x)
        [=wC(x)の要素]
        故に C(x)\supset C(y)...(2)
        (1)(2)によりC(x)=C(y)
      3. z\in C(x)\cap C(y) [空集合でないので適当な要素zをとってくる。]
        このとき、C(x)=C(z),\; C(y)=C(z)
        [定理2.より要素自身が同値類の代表元の取替]
        となるので、C(x)=C(y) ...\Box
  • 同値関係による商:
    [集合Sの中に、ある〜関係に対応したC(x), C(y), C(z)があるとすると、(被りのない)同値類を要素とした集合を考える→同値関係による商S/\simという。]

5. 同値類:

>Top 6. Residue Class (Coset):

  • 定義: 左剰余類 (Left coset) [Gの部分群Hを使った同値関係を考える]
    • Hを群Gの部分群とする。
      a,b\in Gに対し、a^{-1}b\in Hとなるとき、a\sim bと定義する。
      これは同値関係であり、a\in Gの同値類をaHによる左剰余類という。
      • C(a)=\{x\in G|a\sim x\}=\{x\in G|a^{-1}x\in H\}
        [C_{(a)}; 同値関係が成立するには、反射率・対称律・推移律が成立する必要がある。]
    • 注:
      1. a, b\in Gに対し、ba^{-1}\in Ha\sim bの定義としたものをaHによる
        右剰余類という。
      2. Gが可換群であれば、左剰余類も右剰余類
        • 左: C(a)=\{x\in G|\;a\sim x\}=\{x\in G|\;a^{-1}x\in H\}
          =\{x\in G|\;a^{-1}x=h\}=\{ah|\; h\in H\}=aH [aを左から掛ける]
        • 右: C(a)=\{x\in G|\;a\sim x\}=\{x\in G|\;xa^{-1}\in H\}
          =\{x\in G|\;xa^{-1}=h\}=\{ha|\; h\in H\}=Ha [aを右から掛ける]
  • 同値関係であることの条件:
    • 反射率: x\in Gならx^{-1}x=e\in H\;→x\sim x
      [a=b=xを取ってくる]
    • 対称律: x,y\in Gx\sim yならx^{-1}y\in H
      [Hは部分群なので逆元もHに含まれる\;→(x^{-1}y)^{-1}=y^{-1}x\in H
      y\sim x [同値関係の定義によりy\sim xが成り立つ]
    • 推移律: x,y,z\in Gx\sim y\; y\sim zなら、x^{-1}y,\;y^{-1}z\in H
      [Hは部分群なので積演算で閉じているので、
      (x^{-1}y)(y^{-1}z)=x^{-1}(yy^{-1})z=x^{-1}z\in H
      x\sim z]
  • 定理:
    • \forall a,b\in G,\; |aH|=|bH| [集合aHbHの個数は等しい]
    • 証明:
      • \forall a\in G,\; |H|=|aH|を示せばよい。[Hを固定して比較する]
      • f: \; H\longrightarrow aH
         \;\; h\longmapsto ah [全単射が成り立てばよい]
        • H=\{h_1,h_2,h_3,\cdots\}
        • aH=\{ah_1,ah_2,ah_3,\cdots\}
          [全射は明らかだが、単射を調べる; a≠b→f(a)≠f(b)⇔f(a)=f(b)→a=b]
          [ah_i=ah+jのとき、a^{-1}ah_i=a^{-1}ah_j\;→h_i=h_j→]単射である ...\Box
    • GのHによる左類別:
      • G=H\cup aH\cup bH\cup\cdots
      • 同様に、G=H\cup Ha\cup Hb\cup\cdots [GのHによる右類別]
        [全射は、Hの部分群が全部あるので成立する。後は単射を調べる]
        • a≠bならばf(a)≠f(b、即ちその対偶contrapositonである
          f(a)=f(b)ならばa=bを示せばよい。
        • ah_i=ah_j\;→a^{-1}ah_i=a^{-1}ah_j\;→h_i=h_j$ [単射である]
        • \;→G=H\cup aH\cup bH\cup\cdots [GHによる左類別]
        • \;→G=H\cup Ha\cup Hb\cup\cdots [GHによる右類別]
      • このHを用いた同値関係による商(=同値類を要素とした集合)の表現:
        • G/H:=\{eH, aH, bH, \cdots\}
        • H\backslash G:=\{He, Ha, Hb,\cdots\}
          [商の記号G/\sim =\{C_{e}, C_{(a)}, C_{(b)},C_{(c)},\cdots\}]
  • G=\mathbb{Z},\;H=3\mathbb{Z} [整数の整合Gの部分集合としての3の倍数の集合H]
    • \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{0+3\mathbb{Z},\ 1+3\mathbb{Z},\ 2+3\mathbb{Z}\} =\{\overline{0},\ \overline{1},\ \overline{2}\}
    • [この場合の演算は加法; 加法演算の場合; この例はmod計算に相当;
      aH=ah\{h\in\ H\beta\}]

6. 剰余類:

  • conversion: 逆
    \neg P→\neg Q
  • Inversion: 裏
    \neg P→\neg Q
  • contrapositon: 対偶
    P→Q is \neg Q→\neg P
  • negation: 否定
    \neg(P→Q)
  • 群Gについて同値関係を使うと、
    (MECE, もれなく被りなく)うまく
    Group分けを行える。

>Top 7. Normal Subgroup:

  • 定理の前提:
    • aH・bH=abHが成立するためには
    • aH・bH\Rightarrow abH=a'b'Hを満たしていなければならない。
    • a'=aH_1,\;b'=bh_2\;(h_1,h_2\in H)
      \;→a'b'=ah_1bh_2\; (=abh_1'h_2\in abHとなればよい。Hb=bHならOK
      即ち\;→h_1b=Hb,\;bh_1=bHと書ければOK)
  • 定義 (正規部分群):
    • HGの部分群とする。
      全てのa\in Gに対し、aH=Haとなるとき、HGの正規部分群といい、
      H\trianglelefteq Gと表す。
    • 注:
      • 可換群(communitative group)Gの部分群(subgroup)は、全て正規部分群(normal subgroup)である。
  • >Top 定義 (剰余群 quotient group):
    • NGの正規部分群とする。
      剰余類 aNbNの積を aN・bN=abNと定義(**)すると、G/Nはこの演算によって群となり、この群をGの正規部分群Nに関する剰余群という。
    • 証明:
      • 閉じている: 演算の定期から、ok
      • 単位元: eNで成立
      • 結合法則: (aN bN) cN=abN cN=abcN=a(bc)N=aN bcN=aN (bN cN)
      • 逆元: a^{-1}N
        • 注: Gが可換群であれば、G/N (商)も可換群...*...\Box
  • ¶ 例:
    • Z/3Z=\{0+3Z,];1+3Zz,\;2+3Z\}
      [Zが可換群→3Zは正規部分群→Z/3Z 正規部分群での商は剰余群となる]
    • 演算: (0+3Z)+(1+3Z)=(1+3Z)
      [なお中央の+は、上記*により、剰余群の元同士の演算も可換群となるので+になる。
      →代表元同士の演算結果とNを書く (上記**)]
    • 演算2: (1+3Z)+(2+3Z)=(0+3Z)
      [別表記(=mod計算): \overline{1}+\overline{2}=\overline{0}\;→mod計算の一般化]
  • 正規部分群の判定法:
    • {}^\forall z\in G,\;aH=Ha⇔{}^\forall h\in H,\;{}^\forall a\in G,\;aha^{-1}\in H
    • 証明\Rightarrow:
      • aH=Haより、ah=h'a [h'aと書けるようにh'が存在する]
        \;→aha^{-1}=h'\in H...\Box$
    • 証明\Leftarrow:
      • aha^{-1}\in Hよりaha^{-1}=h'
        \;→aha^{-1}a=h'a\in H\;→aH=Ha ...\Box
  • ¶例: S_3 [三次対称群の部分群を考える]
    • \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 2\ 3}(\rho_0)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 3\ 1}(\rho_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 1\ 2}(\rho_2)
      \dbinom{1\ 2\ 3}{1\ 3\ 2}(\mu_1)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{3\ 2\ 1}(\mu_2)\;\dbinom{1\ 2\ 3}{2\ 1\ 3}(\mu_3)
      • →\rho_0,\;\rho_1,\;\rho_2の部分群はNと書ける
        →\mu_1,\;\mu_2,\;\mu_3の部分群は\mu_1N と書ける
      • [正規部分群となるのはNだけ]
      • [\rho_0,\;\mu_1=Hまたは\rho_1,\;\mu_2=Hは正規部分群とならない]

7. 正規部分群:

  • 剰余類を元とする群を作る
    →演算を考える
    →aH・bH=abHを考える

>Top 8. Homomorphism

  • 定理 (準同型写像):
    • G,\; G': 群
      写像 f: ;G\;→G'f(xy)=f(x)f(y),\;{}^\forall x,y\in Gを満たすとき、
      fを準同型写像という。[→群の構造を保つ]
      [写像を考えることで同じかどうか比較する。(=同型)。
      この場合、個数のみならず演算も含めての同型かどうか。]
      • Sが全射の場合 [全射準同型写像 surjective homomorphism]
      • Sが単射の場合 [単射準同型写像 injective homomorphism]
      • Sが全単射の場合 [全単射準同型写像 surjective & injective (=bijective 同型写像) homomorphism] G\cong G' 代数構造が全く同じ(近似的意味はない)
  • 定理 (準同型写像):
    1. f(e)=e'
      • 証明:\;f(e)=f(ee)=f(e)f(e)\;→f(e)=e' [eee$は単位元なので同じもの]
    2. f(x^{-1})=f(x)^{-1}
      • f(x)f(x^{-1})=f(xx^{-1})=e'
        逆にf(x^{-1})f(x)=f(x^{-1}x)=e'
        →f(x^{-1})=f(x)^{-1}
  • 定義 (Kernel核、Image像)
    • G,\;G':群、e':G'の単位元とする。
    • 群の準同型写像
      f: G\longrightarrow G'に対して
      Ker f=\{x\in G|f(x)=e'\} >Fig.
      Im f=\{f(x)\in G'|x\in G\} [全射なら Imf=G']
  • 定理:
    1. Ker f\trianglelefteq G
    2. Im f ≤ G'
    • 証明:
      • f(a^{-1}b)=f(a^{-1})f(b)=f(a)^{-1}f(b)=e'^{-1}e'=e'e'=e'
        よってa^{-1}b\in \text{Ker}\ fであり、Ker fGの部分群である。
      • f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x)^{-1}=f(x)f(x)=e'
        よって、xax^{-1}\in \text{Ker}\ fである。KerfGの正規部分群
        [準同型写像の定義と性質; f(a)はKer f'の元]
      • {}^\forall f(a), f(b)\in \text{Im}\ f
        f(a)^{-1}f(b)=f(a^{-1}b)\in\text{Im}\ f
        よって Im fG'の部分群...\Box
    • 例: [準同型写像]
      1. f:\ \mathbb{C}^*\longrightarrow \mathbb{R}>0 [乗法から乗法へ]
        \;\;z\longrightarrow |z|は全射準同型写像(単射ではない)である。
        • 証明: f(z_1 z-2)=|z_1 z_2|=|z_1||z_2|=f(z_1)f(z_2) [全射は明らか]
          Krt f=\mathbb{T} [一次元torus; Ker fは複素数平面上の距離1の円→R上のe'=1に写像]
      2. f:\; \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}>0 [和法から乗法]
        • x\;\longrightarrow \exp(x) [同型写像=全単射写像]
        • 証明: f(x+y)=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=f(x)f(y)
          • なお、Kerf={0} [行き先での単位元(1)になっていること]

8. 準同型写像:

  • injection: 単射
  • surjective: 全射 =one-to-one
  • Kernel $ Image:
  • kernel_image.gif

>Top 9. Fundamental homomorphism theorem:

  • 定理: 準同型写像:
    • f:\ G\longrightarrow G'を準同型写像という。[Chap 8の定義参照] 
      このとき
      • \varphi: G/\text{Ker}\ f\longrightarrow \text{im}\ f
        \;\;\;\; x\text{Ker}\ f\longmapsto f(x)は、同型写像(isomorphism)である。
        即ち、G/\text{Ker}\cong\text{Im}\ f
        特に、fが全射であるときは、G/\text{Ker}\cong G'
        但し、\varphiが、well-definedであること[定義によって一意の解釈または値が割当荒れること]
        \;→x\text{Ker}\ fの類の別の大表現yをとれば、{}^\exists k\in \text{Ker}\ f,\; y=xk
        • well=definedの確認: f(y)=f(xk)=f(x)f(k)=f(x)e'=f(x) [fは準同型; f(k)はKer fから取ってきたのでe'; 即ちwell-definedである。]
      • 証明:
        1. \varphiが準同型写像であること:
          \varphi(x\text{Ker}\ f\; y\text{Ker}\ f)=\varphi(xy\ \text{Ker}\ f)
          f(xy)=f(x)f(y)=\varphi(x\text{Ker}\ f)\varphi(y\text{Ker}\ f)
          [\varphiの定義から]
        2. f(x)\in\text{im}\ fをとると\varphi(x\text{Ker}\ f)=f(x)[全射であることを示す]
          • 証明の準備:
            fが単射⇔f(x)=e'ならばx=e
          • \Rightarrowは自明
          • \Leftarrowを示す。
            x≠y\in G\;→f(x)≠f(y)\in G'
            \Rightarrow f(x)=f(y)\in G'\;→x=y\in Gを示す。[対偶]
          • x,y\in Gに対し、f(x)=f(y)とする。
            このときf(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=e’
            条件よりxy=eよってx=y [準同型写像なので]
        3. \varphiが単射であることより、\varphi(x\text{Ker}\ f)=e'とする。
          [x\text{Ker}\ f\;→\text{Ker}\ fであることを示せばよい]
          f(x)=e'となるので、x\in\text{Ker}\ f
          よってx\text{Ker}\ f=\text{Ker}\ f [xはKer fの中の元なので]
          従って、\varphiは単射である。...\Box
    • ¶例:
      1. f:\;\mathbb{C}^*\longrightarrow \mathbb{R}>0 [全射準同型写像]
        \qquad\ z\longmapsto |z|
        • Ker\ f=\mathbb{T}\;[一次元torus e^{i\theta}と書ける]
          \mathbb{C}^*/\mathbb{T}\;\cong\mathbb{R}^*
          [z=re^{i\theta}rの違いによって分類; 偏角を無視]
      2. f:\;GL_n(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^* [n次一般線形群; 全射準同型写像]
        \qquad\ A\longmapsto det\ A
        • Ker\ f=SL_n(\mathbb{R}) [det=1]
          GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^*[detの値の違いで分類]
      3. f:\ S_n\longrightarrow \{-1,1\} [全射準同型写像]
        \qquad \sigma\longmapsto sgn\ \sigma [sgn 偶置換1, 奇置換0]
        • Ker\ f=A_n\; [n次交代群]
          S_n/A_n\ \cong\{-1,1\} [偶・偶=偶; 偶・奇=奇と同型]
    • 目的:
      準同型写像=別物に見える群同士が同型であることを示したい
      →同型写像になる写像の構成手順を教えてくれる。

9. 準同型定理:

  • homomorphism.gif
  • Fundamental homomorphism: (Wiki)
  • 群G,Hおよび群準同型f: G→Hが与えられたとき、Gの正規部分群Kおよび自然な射影φ: G→G/K (剰余群)に対し K\subset ker(f)(fの核)が成り立つならば、群準同型 h: G/K→Hが存在して f=h\circ φとできる。
  • commtativediagram.gif
  • φはKを単位元に写すG上の準同型の中で最も一般的なもの。
  • 単射矢印: \;\hookrightarrow
  • 全射矢印:\;\twoheadrightarrow
  • f: x\in \mathbb{R}\mapsto x^2\in\mathbb{R}_+ (非負実数)

>Top 10. Cf: Partition of Group X:

  • Hasse Diagram:
  • 有限半順序集合(S,≤): Sの元を頂点とし、x<yかつx<z<yとなるzが存在しない場合のみ、
    xからyに上向きの線を描く(='yはxを被覆coverする'、または'yはxの直接の後続immediate successorである'という。このような図(=Hasse 図)は半順序を一意的に特定する。

10. Cf: 集合の分割:

hassediagram1.gif hassediagram.gif hasse_diagram1.gif
Comment
  • Group Theory is very abstract; which can expand our thinking more elegant and well organized.
  • 群論は抽象的だが、うまい具合に頭の整理になる。

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