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The advent of the algorithm

The idea that rules the world

Cat: Sci
Pub: 2000
#: 0720b

David Berlinski

up 07716

  • alkhwarizmiAn algorithm is a finite list of well-defined instructions for accomplishing some task that, given an initial state, will proceed through a well-defined series of successive states, possibly eventually terminating in an end state.
  • Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Persian muslim mathematician, was born around 780 in Khawarizm (now Uzbekistan), is considered to be the father of algebra. Latin translations of his Arithmetic on the Indian numerals, introduced the decimal positional number system to the Western world. (Wikipedia)
  • アルゴリズムとは、ある種の問題を解くためにうまく定義された有限のリストであり、初期条件が与えられ、定義された連続的な状態を通じて、最終の状態に至る。
  • モハメッド・イブン・ムーサ・アルコワリズミは、ペルシャのイスラム教徒の数学者であり、780年頃にカワリズム(現在のウズベキスタン) に生まれ、代数学の父と見なされている。インドの記数法によって書かれた彼の代数学のラテン語訳を通して、十進法が西欧世界に紹介された。
Key phrase

0. Introduction:

  • The digital computer is a machine, like every material object, a captive in the end of various bleak laws of thermodynamics. Having run out of time, it runs out of steam.
    • An algorithm is otherwise. Contrived of signs and symbols, algorithms, like thoughts, reside in a world beyond time.
    • Every computer divides itself into its hardware and its software; the machine host to its algorithm, the human being to his mind.

0. 序:

  • デジタルコンピュータは機械であり、あらゆる物質と同じように、熱力学の冷徹な法則の結果に縛られている。時間が尽きると活力も尽きる。
    • アルゴリズムは違う。それはサインとシンボルから作られていて、思考と同様に、時間を超越した世界に属する。
    • どのコンピュータもハードウェアとソフトウェアから成る。アルゴリズムとその宿主である機械の関係は、人間の心と体の関係に対応する。
  • The calculus and the rich body of mathematical analysis to which it gave rise made modern science possible; but it has been the algorithm that has made possible the modern world.
    • An algorithm is an effective procedure, a way of getting something done in a finite number of discrete steps. Classical mathematics is, in part, the study of certain algorithms.
    • At the beginning of he new millennium, we still do not know why mathematics is rue and whether it is certain. But we know what we do no know in an immeasurably richer way than we did. And learning this has been a remarkable achievement.
  • 微積分とそれが生み出した数学的解析の豊かな体系が現代科学を可能にした。しかし、現代世界の成立を可能にしたのはアルゴリズムである。
    • アルゴリズムはある有効な手続き、即ち、有限の個別ステップで何かを得る方法である。古典数学は、ある意味である種のアルゴリズムの研究でもある。
    • 新たな千年紀に際して、数学はなぜ正しいのか、確実なのかまだ我々は知らない。しかし以前より計り知れないほど豊かに、何も知らないかを知っている。何も知らないことを知っていることは目覚ましい成果である。

1. The marketplace of schemes:

  • Leibniz:
    Along with his rival Newton, Leibniz discovered (or invented) the calculus, the indispensable mathematical tool that made the scientific revolution possible, and he invented as well a brilliant and flexible notation for it fundamental operations.
    • Curiously enough, it is logic that catches and then grabs Leibniz's attention. Logic is the science of correct reasoning - correct, as in right, proper, indubitable, ineluctable, irrefragable, necessary, categorical; and reasoning, as in the passage from premise to conclusion, from what is assumed to what it inferred, or from what is give to that is shown.
    • Aristotelian logic is categorical and so reflects the play between all and some, the two terms of quantification giving rise to four statement forms:
      • All As are B.
      • No As are B.
      • Some As are B
      • Some As are not B.
  • Ultimately, Leibniz argued, there are only two absolutely simple concepts, God and Nothingness. From these, all other concepts may be co9nsturcted, the world, and everything within it, arising from some primordial argument between the deity and nothing whatsoever.

1. スキームの市場:

  • ライプニッツ:
    ライバルであるニュートンと並んで、ライプニッツは、微積分を発見 (発明)し、その基本的演算の鮮やかで柔軟な表記法を発明した。
    • 奇妙にもライプニッツの関心を捉えたのは論理学だった。論理学は正しい推論についての学問である。正しいとは、適切で、明白で、疑う余地のない、必然的な、断言的であるということであり、論理的とは、前提から結論へ、想定されていることから推論されることは、与えられたことから明示されることに至ることである。
    • アリストテレス論理学は定言的であり、「すべて」と「ある」の間のやりとりを思考している。
      • すべてのAはBである。
      • すべてのAはBでない。
      • あるAはBである。
      • あるAはBでない。
  • 究極的には、絶対的に単純な概念は、神と無の二つしかないとライプニッツは主張した。この2つの概念から、他のすべての概念を組み立てることができ、世界のその中にあるすべてのものは、神と無との論争から生じる。

2. Under the eye of doubt :

  • The dream merchant:
    Juvenal relates the wonderful story of a quarter old in Rome, where an ancient Jewish family eked out a living selling dreams.
    • dreams of goats and donkeys: 2 denarii
    • dream of Jerusalem: 3 denarii
    • dream of beauty: 100 denarii
    • dream of love: 200 denarii
    • dream of truth: 1000 denarii
      Even in dreams, no man sees all of the truth.
      • Aristarchus:
        "What part will I see?"
      • Dream merchant:
        "The part that you can see."
      • Aristarchus:
        "Each night I dreamed that I was mounting a series of broad white steps, like those at the great Temple of Jupiter. As I claimed I could feel the warmth of the sun emerging. Brightness fell from the air. The very steps glistered beneath my feet. A great feeling of happiness spread through my limbs. It was then that I awoke."...
        " I am no close to he truth than I was. I sense its radiance, but I cannot reach it. When will I reach the truth?"
      • Merchant:
        "When you climbed all the stairs?"
      • Aristarchus:
        "And when will I have climbed all the stairs?"
      • Merchant: "When you have reached the truth."
      • Aristarchus: "That is not a very satisfactory answer."
      • Merchant: "Yours was not a very satisfactory questions, " replied the dream merchant.
  • 2. 疑いの目:

    • 夢の商人:
      • ヤギとロバの夢:2デナリウス
      • エルサレムの夢:3デナリウス
      • 美の夢:100デナリウス
      • 愛の夢:200デナリウス
      • 真実の夢:1000デナリウス
        • アリスタルコス:
        • 夢商人:
        • アリスタルコス:
        • 夢商人:
        • アリスタルコス:
        • 夢商人:
        • アリスタルコス:
        • 夢商人:

>Top 3. Bruno the fastidious:

3. 凝り屋のブルーノ


4. Cargoload and crack-up:

  • Bertrand Russell asked Gottlob Frege (the gnome of logic) to consider sets that do not contain themselves as members. such are the normalsets. The set of all dogs is not a dog, nor is the set of all numbers a number.
    • On the other hand, there are sets that do contain themselves as members. So long as sets are among the things, the set of all things is again a thing. Such sets are abnormal.
    • What of the set of all normal sets. the normal sets include sets of dos, sets of physicists, sets of blondes, sets of whatever, and the set comprising all of them is composed of sets of sets, these including at least:
      {{dogs}, {physicians}, {blondes}, {and all the rest}}.
      Call this set N.
    • Is N normal? this is Russell's question. If so, N may be found among the normal sets and N is at least;
      N = {N, {dogs}, {physicists}, {blondes}, {and all the rests}}.
    • But if N pops up in N, N is a member of itself - just look!- and by definition abnormal. It follows that N is at most
      N = {{dogs}, {physicists}, {blondes}, {and all there rest}}.
    • Now, by definition again, the normal sets comprises all sets that are not members of themselves. Absent N as a member of itself, and N turns out to be normal and not abnormal.
    • But N must be either normal or abnormal, yet by the swinging arguments given, it would appear to be both, or neither. A paradox has be reached.

4. 貨物列車と故障:

  • バートランド・ラッセルはゴットローブ・フレーゲ(論理学の小鬼)に、「自身を要素として含まない集合」を考えるように要求した。これらは正常な集合である。すべての犬の集合は犬ではない。またすべての数の集合は数ではない。
    • 一方で、それ自身を要素として含む集合もある。集合が事物の一種である以上、すべての集合も一つの事物である。このような集合は異常な集合である。
    • すべての正常な集合はどうであろうか。正常な集合には、犬の集合、物理学者の集合、金髪女性の集合、どんな集合も含まれる。あらゆる集合を含む集合は、集合の集合から構成され、少なくとも次の集合が含まれる。
      {{犬}, {物理学者}, {金髪女性}, {その他すべて}}
      この集合をN と呼ぶとする。
    • N は正常な集合だろうか?これがラッセルの問題である。N が正常な集合ならば、N は正常な集合の集まりの中に見出せるから、少なくとも、次のように書き表せる。
      N = {N, {犬}, {物理学者}, {金髪女性}, {その他すべて}}
    • しかし、NN の中に現れるとすると、Nはそれ自身の要素であり、定義により、異常な集合となる。となると、N はこう書き表すしかない。
      N = {{犬}, {物理学者}, {金髪女性}, {その他すべて}}
    • 今度は、やはり定義により、正常な集合は、自らを要素として含まない集合すべてから成り立っている。N をそれ自身の要素から取り去ると、N は正常な集合となり、異常な集合でなくなる。
    • しかし、N は正常な集合であるか、異常な集合であるかのどちらかであるはずだ。だが、今の議論によると、どちらでもあり、あるいはどちらでもないように見える。パラドックスが起こったのだ。

5. Hilbert takes command:

  • David Hilbert was one of the two great mathematicians whose careers straddled the 19th and 20th centuries, Henri Poincare, by common consent, the other. Hilbert was born in 1862, in Konigsberg, the capital of what was then East Prussia, and the birthplace as well of Immanuel Kant.
  • Hilbert persuaded everyone to step back. Stepping back, mathematicians saw mathematics for what it might be, a formal game, the perspective cold but liberating.
    • And with judgments come standards. They must be, be chosen so as to reflect the original impulse yielding the decision to distinguish mathematics from metamathematics. and they must be standards that can be met by proof, even if it is proof delivered in the metalanguage itself, for without proof, there is simply no mathematics at all.
  • Hilbert's standards of satisfaction were simple, straightforward, radical, and audacious.
    • A formal system in general must in the first instance be consistent.
    • The formal system must in the second place be complete. And this, too, is a metamathematical demand, a command issued by the symbol master. Formal arithmetic is intended to capture everything that is true of arithmetic and nothing more.
    • And finally, the formal system must be decidable. A finite and mechanical procedure must exist that determines for each and every claim made by the formal system whether that claim may be proved within the formal system.
    • And so almost to the advent of the algorithm, for Hilbert was asking for nothing less than the subordination of the whole of mathematics, with its far-flung and subtle concepts, into a mechanical routine.

5. ヒルベルト、指揮を執る:

  • ダービット・ヒルベルトは、19世紀と20世紀にまたがる偉大な二人の大数学者の一人だあった。もう一人はアンリ・ポアンカレであることに異議を唱える人はいない。ヒルベルトは1862年にケーニヒスベルグで生まれた。当時の東プロイセンの首都で、イマヌエル・カントが生まれた町でもある。
  • ヒルベルトは、一歩身を退いて考えるように皆を説得した。数学者は一歩身を退いて数学という形式的なゲームを眺める。その視点は冷徹で解放感のあるものである。
    • 判断には基準が伴う。その基準は、数学とメタ数学とを区別しようと決断した本来の衝動に沿うように選ばれなければならない。それは証明によって満足される基準でなかればならない。たとえそれがメタ言語で述べられる証明であっても、証明なしでは数学はあり得ないからである。
  • ヒルベルトの満足の基準は単純で直裁的で急進的かつ大胆であった。
    • まず第一に、形式的体系は一般的に、無矛盾でなかればならない。
    • 第二に、形式的体系は完全でなければならない。これもメタ数学、即ち、記号の支配者による要請である。
    • 最後に、形式的体系は、決定可能でなければならない。形式的体系によってなされる主張の各々について、その主張が形式的体系の中で証明されるかどうかを決定する。
    • ここまでくれば、アルゴリズムの登場は間近だ。ヒルベルトとが求めていたのは、広範囲におよぶ難解な概念を含む数学全体を、機械的なルーティンに従属させようとすることに他ならなかったからだ。
  • Formal systems require that peculiarly logical act of cunning renunciation in which the logician simultaneously evacuates meaning from the symbols of a system while retaining at some level of consciousness a firm understanding of what those symbols mean.
    • With meaning removed from symbols, what is left?
    • "The symbols themselves, the moves that they can make, the game that they play."
    • But to see something, it is necessary to see it from some place, the very act of seeing displacing the mathematician from his accustomed position within the game.
    • The arena of the game is ordinary mathematics; but the vantage point, that is metamathematics, and the distinction between the two, which was uniquely Hilbert's, organized for the first time those confused and anxious logical voices into a coherent whole.
    • Mathematics is a game of symbols. And metamathematics is where the game gains meaning.
  • 形式的体系にとって必要なことは、狡猾なる放棄ともいうべき独特な論理的行為である。即ち、論理学者は体系の記号から意味を取り除くと同時に、記号が何を意味するかについてある意識レベルの確固たる理解を保持する。
    • 記号から意味を取り去ると何が残るか?
    • 記号そのもの。それは記号が打つことができる手であり、演じることのできるゲームである。
    • しかし、何かを見るためには、ある場所から見る必要がある。それは数学者をしてゲームに参加しているときの馴染みの場所から離れてみる行為である。
    • このゲームの舞台は通常の数学である。しかし、この眺望のよい視点、つまりメタ数学が得られたこと、さらには数学とメタ数学の間にヒルベルトが独自の区別をつけたことによって。混乱し不安を抱えた論理学が初めて統合されたのだ。
    • 数学は記号を用いたゲームであって、メタ数学は、このゲームの意味がよってきたる場所である。

6. Goedel in Vienna :

  • Goedel's theorem is based on a paradox. Like Russell's paradox, this one turns on self-reference, immolating itself on itself.
    • "I cannot be demonstrated."
    • If this sentence cannot be demonstrated, then what it says i true, and the fact that it is indemonstrable inicates that it can be demonstrated. After all, the last sentence that I have written provides precisely such a demonstration.

6. ウィーンのゲーデル:

  • ゲーデルの定理は、あるパラドックスに基づいている。ラッセルのパラドックスと同じく、これも自己言及に基づいて、自分自身を自分の生け贄として捧げるようなものだ。
    • 「私を証明することはできない」
    • もしこの文が証明できないとすれば、この文の主張は真となり、「この文が証明不可能である」ということになり、それは証明できることを示す。
      結局、このここに書かれた文は、正に証明できることを示すことになり、 矛盾である。

>Top 7. The dangerous discipline:

7. 危険な学問:

>Top 8. Flight into abstraction:

8. 抽への飛翔:


9. The imaginary machine:

  • Alan Turing:Insofar as human beings are engaged in thought of any form, they are acting as human computer.
    • The blueprint for a Turing machine is both architectural and procedural. The architecture describes the machine's four parts, and these are common to all Turing machines; the procedures comprise its instructions, and although they are all written in the same code and obey the same format, the vary from machine to machine.
    • Architecture:
      • an infinitely long tape
      • a finite set of symbols
      • a reading head
      • a finite set of states
    • Procedures
      • If the machine is in this state, and is scanning the symbol, then it must write this symbol, or that symbol, and move one square to the left or to the right or not move at all.
  • If Turing's imaginary machine he played an important role in the development of technology, it has played a still more important role in the history of thought, providing a simple, vivid, and altogether compelling mathematical model of the ancient idea of an algorithm.

9. 仮想機械:

  • チューリングマシン
    • アラン・チューリングマシンの青写真は、構造上のものであり、かつ同時に手続き上のものである。構造上というのは、この機械を構成する4つの部分についての記述であり、あらゆるチューリングマシンに共通である。手続き上というのは従うべき指示である。この指示はすべて同じ暗号で書かれ、同じフォーマットに従うが、機械毎に異なる。
    • 構造:
      • 無限に長いテープ
      • 有限個の記号
      • 読み取りヘッド
      • 有限個の状態
    • プロセス
      • 機械がこの状態にあり、この記号を走査しているならば、これこれの記号を書き込み、そして左か右に一マス動くか、あるいは、まったく動かないかでなければならない。
  • チューリングの想像上の機械は技術の発展においても重要な役割を演じたが、それ以上に思考の歴史において重要な役割を演じた。即ち、アルゴリズムという古い概念について、単純で生き生きとした説得力のある数学モデルをもたらしたのだ。

>Top 10. Postscript:

10. ポストスクリプト:

>Top 11. The peacock of reason:

11. 理性の孔雀:


12. Time against time:

  • df(t)/dt = Af(t)
    expresses the claim that the rate of change in f(t), the number of bacteria at time t, is proportional at t to f(t) itself.
  • f(t) = ke^At
    The number e is an irrational number.
    • A differential equation has the uncanny power to penetrate the future ( or the past, asa it happens) and occupies its positron in the physicist's pantheon for precisely this reason. The variable t takes time as its value, and as time scrolls backward or forward in the mathematician's imagination, ke^At provide a running account of growth or decay and so a running account of change.
    • The differential equation governing uniform growth separates time into three phase portraits; two of these, growth and decay.
    • Stasis is something else. If A=0, the slightest deviation in its value change, and changes utterly, the nature of the solutions.

12. 時間に対する時間:

  • df(t)/dt = Af(t)
    が述べているのは、「時間t における細菌の数 f(t)の変化率は、f(t) そのものに比例する」
  • f(t) = ke^At
    e は無理数。
    • 微分方程式は未来(あるいは過去)を見通す不思議な力を備えている。それゆえ物理学者の神殿にその座を与えられた。変数t は時間を値としてとり、物理学者の想像の中で時間を前か後ろかに進むとき、ke^Atは成長ないし減少の継続勘定、即ち、変化の継続勘定を与える。
    • 一様な増大を示す微分方程式は、時間を3区分する。その内の2つ、増大と減少は安定した状態である。
    • 均衡状態は別である。A=0であれば、値がわずか変わっただけで、解の性質が変化する、それも全く変わってしまう。

>Top 13. An artifact of mind:

13. 精神の産物

>Top 14. A world of many gods:

14. 多くの神々の世界:


15. The cross of words :

  • <The cardinal at dinner>
  • Cardinal:
    My dear Professor Dottore, it is now that you must tell us how the world began.
  • Professore:
    As you know, Eminence, it has been mathematical physics that has embodied the largest, the most generous , intellectual gesture of the past 500 years. Within the scheme that it elaborates, real numbers are assigned to continuous magnitudes. Time and space are given a quantitative skeleton. It is characteristic and artful method of investigation that has been developed, one in which things and processes are described by mathematical equations. It has allowed us to survey the universe from the big bang to the end of time.
  • Cardinal:
    That is very elegantly put, but I was under the impression that general relativity and quantum mechanics are yet in conflict. These are the two great visions of your science, no?
  • Professore:
    You are correct, Eminence. In general relativity, space and time are fused into a manifold. Matter deforms space and time, and space and time influence the behavior of matter.

15. 言葉の十字架:

  • <晩餐での枢機卿>
  • 枢機卿:
  • 教授:猊下、ご存じの通り、過去500年間で最大の知的業績を誇示してきたのは数理物理学です。数理物理学の体系では、連続的な大きさに実数が割り当てられ、時間と空間に量的な枠組みが与えられます。事物とプロセスが方程式によって記述される特徴的で巧みな研究法です。これによってビックバンから時間の終わりまで宇宙を調べることができます。
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • Cardinal:
    And the other quantum mechanics?
  • Professore:
    It is in certain respects a dark subject, Eminence.
  • Cardinal:
    Quantum mechanics a dark subject? It is a good thing that you never take confession, my friend.
  • Professore:
    A figure of speech, Eminence. Instead of particles, there are waves of probability, which launch themselves throughout the whole of space.
  • Cardinal:
    I remember. Waves behave like particles and particles behave like waves, and solitary photons passing through a slit manage to interfere with themselves. Yes. extraordinary. And to think there are those who make fun of our poor Church because of the miracle of transubstantiation. Two entirely different disciplines, no? And yet you assume that beneath it all the universe is simple.
  • Professore:
    We are searching. Eminence, for the final unified theory.
  • Cardinal:
    And when you have found it?
  • Professore:
    The physical aspects of reality will be subordinated to a single law of nature.
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • Cardinal:
    And this great theory, what will it reach us about the universe, its meaning?
  • Professore:
    The more the universe seems comprehensible, Eminence. the more it seems to have no meaning.
  • Cardinal:
    And you are persuaded that it does seem comprehensible?
  • Professore:
    Evidently there are the laws of physics.
  • Cardinal:
    If the universe is comprehensible, surely that is evidence that it is not entirely lacking in meaning, no? A meaningless universe would not be comprehensible.
  • Professore:
    Forgive me, Eminence, but why should it have a meaning?
  • Cardinal:
    My dear Dottore, our question is not why the universe has a meaning but whether it has one. Surely we can agree to leave the why of things in other hands.
  • Professore:
    As far as we can tell, Eminence, the universe is just a physical system. Nothing more.
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • Cardinal:
    A physical system, one entirely explained by the laws of matter.
  • Professore:
    Entirely, Eminence.
  • Cardinal:
    And this system, how did it come to be?
  • Professore:
    I am sure Your Eminence knows the answer.
  • Cardinal:
    Yes, of course, but the others,
  • Professore:
    The current theory is that the universe erupted into existence some 15 billion years ago.
  • Cardinal:
    The big bang.
  • Professore:
    It is what everything suggests, Eminence, the data, our theories, everything.
  • Cardinal:
    Yes, but what lies before the big bang? I am asking in ignorance.
  • Professore:
  • Cardinal:
  • Professore:
  • Cardinal:
    But my dear Professore Dottore, surely this troubles the intellect, no? There is nothing for all eternity, and then - poof - there is something.
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • Professore:
    No, no, Eminence. There was no eternity before. This is a mistake.
  • Cardinal:
    Ah, eternity is mistake.
  • Professore:
    I am talking only of science, Eminence. Space and time were created with the universe. They have no prior existence.
  • Cardinal:
    Then there is no time before this big bang of which you speak?
  • Professore:
    It seems difficult to grasp, Eminence, but just a there is no point north of the North Pole, so there is no time prior to the big bang.
  • Cardinal:
    Then there is nothing to explain the creation of the universe. All of this, this grandeur, just happened for no reason whatsoever? Is that what you believe?
  • Professore:
    No, Eminence, I believe that ultimately the laws of physics explain the existence of the world.
  • Cardinal:
    This you must explain to me. The laws of physics, they are symbols, no? Things made of man?
  • Professore:
    Well, yes, in a sense that is right. Mathematical symbols. But they are not made by man.
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • Cardinal:
    Who then?
  • Professore:
    I mean that they are not made at all. They are just what there are.
  • Cardinal:
    Ah, they are what they are. But whatever they are, they are not physical objects, these laws, no?
  • Professore:
    The laws of physics do not exist in space and time at all. They describe the world, the are not in it.
  • Cardinal:
    Forgive me, I thought I heard you say that everything in the world could be explained by the behavior of matter, no? It would appear that you meant everything in the world except the reason for is existence.
  • Professore:
    Eminence, every chain of explanation must come to an end.
  • Cardinal:
    Is is not convenient that your explanations come to an end just before they are asked to explain a very great mystery? I would seem to me that if you were serious about this search of yours that you would be looking for laws that in the end explain themselves as well as everything else.
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • 教授:
  • 枢機卿:
  • Both calculus and algorithm are the challenges to the infinite which belongs to the domain of God; the former is at a breath, the latter is one by one approach by the wisdom of humankind.
  • 微積分もアルゴリズムは、人類の神の領域である無限に対する挑戦として、前者は一気に、後者は一歩一歩近づこうとした人類の英知である。

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